Bøjningspunkt

Et bøjningspunkt  er et punkt på en plan kurve , hvor dens orienterede krumning skifter fortegn. Hvis kurven er en graf for en funktion, så adskilles den konvekse del af funktionen på dette tidspunkt fra den konkave (det vil sige, at den anden afledede af funktionen skifter fortegn).

Definitioner

Et (simpelt) bøjningspunkt for en regulær kurve er et sådant punkt på denne kurve, hvor tangenten til kurven har andenordens kontakt med den og deler kurven , det vil sige de punkter på kurven, der ligger i et eller andet område af det givne punkt på modsatte sider af dette punkt ligger også langs forskellige sider fra tangenten [1] [2] . Hvis kurven er 2-regulær, erstattes betingelsen med følgende: kurvens orienterede krumning skifter fortegn, når den passerer gennem et vendepunkt. Punktet for den højeste (degenererede) bøjning af kurven er dens punkt, tangenten til kurven, hvori har kontakt med den, hvis rækkefølge ikke er lavere end tre, og tangenten deler kurven [1] .

Betingelsen for at ændre tegnet for orienteret krumning svarer ikke til at opdele kurven i konkave og konvekse dele. Så i tilfælde af en spids har kurven muligvis ikke en tangent. For at eliminere dette kræver ovenstående definitioner kurvens regelmæssighed. Et mere interessant tilfælde er funktionen for when , som i punktet 0 rører x-aksen og skærer den, men skifter fortegn nær nul et uendeligt antal gange; her er der endda en anden kontinuert afledt [3] . For at udelukke et sådant tilfælde kræves det, at funktionen har et isoleret ekstremum (se nedenfor).

Et punkt på en kurve kaldes et udretningspunkt, hvis kurvens krumning i det punkt er nul [4] . Nogle gange kaldes udretningspunktet for en kurve, som ikke er et bøjningspunkt for denne kurve, et parabolsk udretningspunkt [1] .

En differentierbar funktion har et bøjningspunkt ( x , f ( x )), hvis og kun hvis dens første afledede , f′ , har et isoleret ekstremum ved x (dette er ikke det samme som f har et ekstremum på det punkt). Det vil sige, at der i et eller andet område af punktet x er ét og kun ét punkt, hvor f′ har et (lokalt) minimum eller maksimum. Hvis alle yderpunkter af funktionen f′ er isoleret , så er bøjningspunktet det punkt på grafen for f , hvor tangenten skærer kurven [5] [6] .

Det højeste (degenererede) toppunkt i en regulær kurve er dets punkt, hvor den oskulerende cirkel berører den, hvis rækkefølge er højere end den tredje [1] .

Et stigende vendepunkt  er et vendepunkt, hvor den afledede har et lokalt minimum, og et faldende vendepunkt er et vendepunkt, hvor den afledede har et lokalt maksimum.

For en algebraisk kurve er et ikke-singulart punkt et bøjningspunkt, hvis og kun hvis multipliciteten af ​​skæringspunktet for tangenten med kurven er ulige og større end to [7] .

Egenskaber

Et bøjningspunkt er unikt karakteriseret ved to egenskaber:

Hvis kurven er defineret som grafen for en differentierbar funktion , er bøjningspunktet yderpunktet for .

Nødvendige og tilstrækkelige betingelser

Hvis x er bøjningspunktet for f , så er den anden afledede, f″ ( x ), nul, hvis den eksisterer, men denne betingelse er ikke tilstrækkelig . Det kræves, at den mindste rækkefølge af en ikke-nul afledt (over den anden) er ulige (den tredje, femte, osv. afledte). Hvis den mindste orden af ​​den afledte ikke-nul er lige, er punktet ikke et bøjningspunkt, men et parabolsk rettepunkt [8] . I algebraisk geometri omtales både bøjningspunkter og opretningspunkter dog almindeligvis som bøjningspunkter .

Definitionen antager, at f har en højere ordens-afledt af ikke-nul i forhold til x , hvilket ikke nødvendigvis eksisterer. Men hvis det eksisterer, følger det af definitionen, at tegnet for f′ ( x ) er konstant på begge sider af x i et kvarter af x .

Den tilstrækkelige betingelse for bøjningspunktet er:

1) En tilstrækkelig betingelse for bøjningspunktet er:

Hvis f ( x ) er k gange kontinuerligt differentierbar i et eller andet område af punktet x , hvor k er ulige og k ≥ 3, f (n) ( x 0 )=0 for n = 2,..., k  - 1 og f ( k) ( x 0 ) ≠ 0, så er x 0 bøjningspunktet for f ( x ).

2) En anden tilstrækkelig betingelse kræver, at og har forskellige fortegn i nærheden af ​​punktet x , forudsat at der er en tangent i dette punkt [2] .

Klassifikation af bøjningspunkter

Bøjningspunkter kan klassificeres efter den afledte f′ ( x ).

Et eksempel på et sadelpunkt er punkt (0,0) på grafen y = x 3 . Tangenten er x - aksen, og den deler grafen på det punkt.

Ikke-stationære bøjningspunkter kan demonstreres ved grafen for funktionen y \ u003d x 3 , hvis den er lidt roteret i forhold til oprindelsen. Tangenten ved origo deler stadig grafen i to dele, men gradienten er ikke nul.

Funktioner med pauser

Nogle funktioner ændrer konveksitet/konkavitet på et tidspunkt, men har ikke et bøjningspunkt på det tidspunkt. I stedet kan de ændre krumning ved overgangen af ​​den lodrette asymptote eller ved diskontinuitetspunktet. Tag for eksempel funktionen 2 x 2 /( x 2  - 1). Den er konveks ved | x | > 1 og er konkav ved | x | < 1. Denne funktion har dog ikke et bøjningspunkt, da 1 og −1 ikke hører til funktionens domæne.

Se også

Noter

  1. ↑ 1 2 3 4 Shikin, 1997 , s. 39.
  2. ↑ 1 2 Bronshtein, Semendyayev, 2005 , s. 231.
  3. ↑ Fikhtengolts, 2001 , s. 305.
  4. ↑ Shikin, 1997 , s. 27.
  5. ↑ Fikhtengolts, 2001 , s. 294-305.
  6. ↑ Kudryavtsev, 1981 , s. 190-195.
  7. ↑ Bøjningspunkt . encyclopediaofmath.org .
  8. ↑ Rashevsky, 1950 , s. 18-19.

Litteratur

Links