Afrundingspunkt

Et afrundingspunkt ( cirkulært punkt , navlepunkt eller navlepunkt ) er et punkt på en glat regelmæssig overflade i det euklidiske rum , hvor de normale krumninger i alle retninger er ens.

Navnet " umbilicus " kommer fra det franske "ombilicus", som igen kommer fra det latinske "umbilicus" - "navle".

Egenskaber

Ved afrundingspunktet:

overfladens vigtigste krumninger er de samme.
Den første kvadratiske form og den anden kvadratiske form af overfladen er proportionale.
enhver tangentretning er en hovedretning .
Den rørende paraboloid er en revolutionsparaboloid .
Dupins indikator er en cirkel .
Netværket af krumningslinjer (det vil sige linjer, der i hvert punkt tangerer en af overfladens hovedretninger) har et træk [1] .
Ethvert afrundingspunkt er enten et elliptisk punkt på overfladen (hvis de primære krumninger er ikke-nul, og dermed den gaussiske krumning af overfladen på det punkt er positiv), eller et såkaldt fladt afrundingspunkt (hvis de vigtigste krumninger er nul, og derfor er den Gaussiske krumning og overfladens gennemsnitlige krumning lig med nul på dette punkt). I det første tilfælde, i et lille kvarter af afrundingspunktet, ligner overfladen en kugle, og i det andet ligner den et fly.

Eksempler

I euklidisk rum med metrisk : $ds^{2}=dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}$

Hele kuglen består af elliptiske afrundingspunkter.
En triaksial ellipsoide (med parvis adskilte akser) har præcis fire afrundingspunkter, som alle er elliptiske og af typen "citron".
Hele planet består af flade afrundingspunkter.
Abesadlen har et isoleret fladt afrundingspunkt ved udspringet.

Hypotese om Carathéodory

Carathéodory formodede, at der på enhver tilstrækkelig glat lukket konveks overflade M i tredimensionelt euklidisk rum er mindst to afrundingspunkter . Denne formodning blev efterfølgende bevist under den yderligere antagelse, at overfladen M er analytisk [2] [3] .

Generalisering

Lad være en jævn mangfoldighed af vilkårlig dimension i et euklidisk rum af højere dimension. Derefter defineres egenværdierne for parret af den første og anden kvadratiske form givet på tangentbundtet ved hvert punkt . Et punkt kaldes en navle, hvis sættet indeholder mindst to matchende tal i det. Sættet af navlestrenge har kodimension 2, det vil sige, det er givet af to uafhængige ligninger. [4] Således er navlestrenge på en generisk overflade isoleret ( ), mens de på en generisk 3-manifold danner en kurve ( ). $M$ $n\geq 2$ $x\i M$ $n$ $\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}$ $TM$ $x\i M$ $\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}$ $M$ $\dim=2-2=0$ $\dim=3-2=1$

Litteratur

Toponogov VA Differentiel geometri af kurver og overflader. - Fizmatkniga, 2012. - ISBN 9785891552135 .
Rashevsky P. K. Forløb af differentialgeometri, - Enhver udgave.
Finikov S.P. Kursus af differentialgeometri, - Enhver udgave.
Finikov S.P. Theory of Surfaces, - Enhver udgave.
Porteous IR Geometric Differentiation for intelligensen af kurver og overflader - Cambridge University Press, Cambridge, 1994.
Struik DJ Lectures on Classical Differential Geometry, — Addison Wesley Publ. Co., 1950. Genoptrykt af Dover Publ., Inc., 1988.

Noter

↑ 1 2 Remizov A. O. Multidimensional Poincare-konstruktion og singulariteter af løftede felter for implicitte differentialligninger, CMFD, 19 (2006), 131-170.
↑ Zbl 1056.53003
↑ Ivanov V. V. Analytisk hypotese af Carathéodory, Sib. matematik. j., 43:2 (2002), 314-405.
↑ Arnold V. I. Klassisk mekaniks matematiske metoder, - Enhver udgave. (Bilag 10. Naturlig frekvens multiplicitet og parameterafhængige ellipsoider).