Torisk sort

En torisk varietet er en algebraisk varietet , der indeholder den algebraiske torus som en åben tæt delmængde, således at torusens virkning på sig selv ved multiplikation til venstre strækker sig til handlingen på hele sorten. Hvis sorten er kompleks , så er den algebraiske torus . Normalt antages toriske varianter at være normale . Der er også en parallel teori, der bruger symplektiske varianter i stedet for algebraiske varianter . ${\displaystyle (\mathbb {C} ^{*})^{n))$

En torisk sort kan konstrueres ud fra en ventilator, og alle normale toriske varianter opnås på denne måde. Denne konstruktion er ikke elementær i den forstand, som begrebet spektrum af en ring kræver . En anden konstruktion er konstruktionen af en projektiv torisk sort givet en passende konveks polytop, som kan formuleres uden at ty til begreberne skemaalgebraisk geometri .

Fan design

Affine sag

Lad være -dimensionel torus, $T$ $n$

N={\textrm {Hom}}(\mathbb {C} ,T)\cong \mathbb {Z} ^{n}

er en fri Abelsk gruppe kaldet gitteret af en-parameter undergrupper , og

M={\textrm {Hom}}(T,\mathbb {C} )\cong {\textrm {Hom}}(N,\mathbb {Z} )\cong Z^{n}

er den dobbelte Abelske gruppe, kaldet det monomiale gitter . Antag, at en kegle er givet i et vektorrum , som er strengt konveks (det vil sige, at det ikke samtidig indeholder ikke-nul vektorer og ) og genereres af et endeligt antal rationelle vektorer (vektorer fra ) som en konveks kegle . Tag den dobbelte kegle, der ligger i det dobbelte rum, og kryds med gitteret . Elementerne i dette gitter kan betragtes som monomialer fra algebraen , hvorved der opnås en subalgebra . Den affine toriske sort svarende til keglen er spektret af denne algebra. $N_{\mathbb {R} }=N\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {R}$ $\sigma$ $v$ $(-v)$ $N_{\mathbb {Q} }=N\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q}$ $\sigma ^{*}$ $M_{\mathbb {R} }$ $M={\textrm {Hom}}(T,\mathbb {C} )$ $\mathbb {C} [T]$ $\mathbb {C} [\sigma ^{*}\cap M]$ $X_{\sigma }$ $\sigma$

Desuden fortsætter torusens virkning på sig selv ved multiplikation på grund af det faktum, at algebraen er genereret af monomialer. På grund af keglens strenge konveksitet er kortlægningsdualen til indlejringen en åben indlejring. Da keglen er genereret af et endeligt antal rationelle vektorer, siger Gordans Lemma , at en algebra er endeligt genereret, det vil sige, at dens spektrum er en varietet. $T$ $X_{\sigma }$ $\mathbb {C} [\sigma ^{*}\cap M]$ $T\to X_{\sigma }$ $\mathbb {C} [\sigma ^{*}\cap M]\to \mathbb {C} [T]$ $\mathbb {C} [\sigma ^{*}\cap M]$

Limning

Nødvendigheden af at passere til den dobbelte kegle forklares ved, at det så bliver muligt at lime keglerne ind i en ventilator.

Konstruktion på et polyeder

Litteratur

David A. Cox, John B. Little, Hal Schenck. Toriske varianter (neopr.) . - American Mathematical Soc., 2011. - S. 841. - (Kandidatstudier i matematik). — ISBN 9780821848197 . Arkiveret 12. november 2014 på Wayback Machine
Michèle Audin, Ana Cannas da Silva, Eugene Lerman. Symplektisk geometri af integrerbare Hamilton- systemer . — Birkhauser, 2012. - S. 226. - ISBN 9783034880718 .
G. Yu. Panina. Toriske varianter. Introduktion til algebraisk geometri .