Bifurkationsteori

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 24. maj 2021; checks kræver 2 redigeringer .

Teorien om bifurkationer af dynamiske systemer er en teori, der studerer ændringer i det kvalitative billede af opdelingen af et faserum afhængigt af en ændring i en parameter (eller flere parametre).

Oversigt

En bifurkation er en kvalitativ ændring i et dynamisk systems adfærd med en uendelig lille ændring i dets parametre.

Bifurkationsteoriens centrale begreb er begrebet et (ikke) groft system (se nedenfor). Ethvert dynamisk system tages, og en sådan (multi)parametrisk familie af dynamiske systemer anses for, at det oprindelige system opnås som et specialtilfælde - for en hvilken som helst værdi af parameteren/parametrene. Hvis der med en værdi af parametre tæt nok på den givne bevares et kvalitativt billede af opdelingen af faserummet i baner, kaldes et sådant system rough . Ellers, hvis et sådant kvarter ikke eksisterer, kaldes systemet ikke- groft .

Her mener vi først og fremmest den frugtbare fysiske og matematiske idé om A.A. Andronov om rå systemer, udviklet af ham med deltagelse af L.S. Pontryagin . Et groft system er et, hvis kvalitative karakter af bevægelse ikke ændres med en tilstrækkelig lille ændring i parametrene. Konservative systemer er ikke ru: Svingningerne af et ideelt friktionsløst pendul er periodiske (forfalder ikke); men der er ingen periodicitet i nærvær af vilkårlig lille friktion. Enhver generator af udæmpede svingninger har karakteristiske egenskaber, der ikke er bevaret under konservativ idealisering, men er korrekt repræsenteret af begrebet "ru system".Gorelik, 1955 [1]

Således opstår områder af ru systemer i parameterrummet, som er adskilt af overflader bestående af ikke-ru systemer. Teorien om bifurkationer studerer afhængigheden af et kvalitativt billede, når en parameter ændres kontinuerligt langs en bestemt kurve. Den ordning, hvorefter det kvalitative billede ændres, kaldes bifurkationsdiagram .

De vigtigste metoder til bifurkationsteori er metoderne til perturbationsteori. Især den lille parameter metode (Pontryagin) anvendes.

Bifurkation af ligevægte

I mekaniske systemer afhænger stabile bevægelser ( ligevægtspositioner eller relativ ligevægt ) som regel af parametrene . Værdierne af de parametre, ved hvilke en ændring i antallet af ligevægte observeres, kaldes deres bifurkationsværdier . Kurver eller overflader, der afbilder sæt af ligevægte i rum af tilstande og parametre, kaldes bifurkationskurver eller bifurkationsoverflader . Passagen af en parameter gennem en bifurkationsværdi er som regel ledsaget af en ændring i ligevægtens stabilitetsegenskaber . Bifurkationer af ligevægt kan ledsages af fødslen af periodiske og andre, mere komplekse bevægelser.

Grundlæggende begreber

Den parameter, hvis ændring fører til en bifurkation, kaldes den kritiske parameter (bifurkationsparameter) , og værdien af denne parameter, ved hvilken bifurkationen opstår, kaldes den kritiske værdi .

Et punkt i det parametriske rum (et rum, hvor hvert punkt svarer til en bestemt tilstand af systemet, og positionen af dette punkt bestemmes af værdierne af parametre og tilstandsvariable), hvor en bifurkation opstår, kaldes et bifurkationspunkt . Flere løsninger (stabile og ustabile) kan komme fra et bifurkationspunkt. Når den kritiske parameter svinger (oscillerer) omkring det kritiske punkt, opstår der en hysterese (uklarhed) af opløsningens egenskaber.

Bifurkationspunktet, hvorfra alle udgående løsninger er stabile, kaldes tiltrækningspunktet (eller attraktoren ).

Repræsentationen af enhver karakteristisk egenskab ved en løsning som funktion af en kritisk parameter kaldes et bifurkationsdiagram .

Det mindste antal parametre, under hvilke en bifurkation opstår, kaldes bifurkationens codimension .

Superkritisk (normal, superkritisk) er en bifurkation, hvor systemet ændres uden et hop.

En subkritisk (omvendt) bifurkation er en, hvor ændringen i systemet sker brat.

En sekvens af bifurkationer, der kvalitativt ændrer et systems egenskaber, kaldes et scenarie .

Se referencer [2] [3] [4] [5] .

Sadel-nodal bifurkation

Et eksempel på en sadel-node bifurkation kan overvejes baseret på systemet beskrevet af differentialligningen:

${\frac {dx}{dt}}=\lambda -{x^{2}}$

hvor er en variabel parameter [6] . Ligevægtsløsninger af ligningen er kun defineret for ; ved ligevægtstilstande er fraværende. Værdien er bifurkationel. Figuren viser det tilsvarende bifurkationsdiagram. Som det kan ses af figuren, udspringer to grene af ligevægtstilstande fra bifurkationspunktet, hvoraf den ene er stabil og den anden er ustabil. Når parameteren varieres i retning af stigende værdier "ud af ingenting", fødes to ligevægtstilstande, hvoraf den ene er stabil. Bifurkationer af denne art omtales som "sadel-node". $\lambda$ $x_{\rm {{1}{\rm {,2}}}}^{\rm {}}=\pm {\sqrt {\lambda }}$ $\lambda \geq 0$ $\lambda < 0$ $\lambda=0$ $(x=0,\;\lambda =0)$

Se også

Litteratur

↑ Gorelik G S , Aizerman M A. Introduktion ("Life and Works of A A Andronov" og) // Til minde om Alexander Alexandrovich Andronov / Ed. Leontovich, M.A. og andre ... - M . : Ed. USSR's Videnskabsakademi, 1955. - S. 3-19. — 718 s.
↑ Chetaev N. G. Bevægelsesstabilitet. — M .: Nauka, 1955.
↑ Andronov A. A. , Leontovich E. A. , Gordon I. M. , Mayer A. G. Teori om bifurkationer af dynamiske systemer på et plan. - M . : Nauka, 1967.
↑ Bautin N. N. , Leontovich E. A. Metoder og teknikker til en kvalitativ undersøgelse af dynamiske systemer på et plan. - M . : Videnskab. Ch. udg. Fysisk.-Matematik. lit., 1990. - 488 s. — (Matematisk referencebibliotek).
↑ Berger P. , Pomo I. , Vidal K. Orden i kaos. Om den deterministiske tilgang til turbulens: Pr. fra fransk. - M . : Mir, 1991. - 368 s. — ISBN 5-03-001804-2 .
↑ Bifurkationer af dynamiske systemer - Digiratory . digiratory.ru. Dato for adgang: 11. januar 2017. (ubestemt)