Plane Curve Rotation Theorem

Plankurverotationssætningen er en differentialgeometrisk version af polygonvinkelsumsætningen ; et særligt tilfælde af Gauss-Bonnet-formlen . Et af beviserne skyldes Heinz Hopf , efter hvem denne sætning nogle gange er opkaldt. [1] [2]

Ordlyd

Den fulde drejning (det vil sige integralet af orienteret krumning ) af en simpel flad lukket glat regulær kurve er . Desuden er det ens, hvis det afgrænsede område ligger til venstre for kurven og ellers. $\pm 2{\cdot }\pi$ $+2{\cdot }\pi$ $-2{\cdot }\pi$

Variationer og generaliseringer

Fenchels kurvedrejningssætning

Noter

Integralet af den orienterede krumning af en flad lukket glat regulær kurve er altid et multiplum af . Ifølge sætningen skal enhver sådan kurve med et orienteret krumningsintegral, der er forskelligt fra , have selvskæringspunkter. $2{\cdot}\pi$ $\pm 2{\cdot }\pi$

Noter

↑ Heinz Hopf: Über die Drehung der Tangenten und Sehnen ebener Kurven. Sammensat matematik. (1935), Band 2, s. 50–62.
↑ Hopf H. Differentialgeometri i det store. — Forelæsningsnotater i matematik. Vol. 1000. Berlin: Springer, 1983.

Litteratur

Toponogov, V. A. Differentiel geometri af kurver og overflader . - Fizmatkniga, 2012. - ISBN 978-5-89155-213-5 .