Whitneys indlejringsteorem

Whitneys indlejringsteorem er en erklæring om differentiel topologi , ifølge hvilken en vilkårlig glat - dimensional manifold med en tællig base indrømmer en jævn indlejring i - dimensionelt euklidisk rum . Etableret af Hassler Whitney i 1938 . $m$ $2m$

Dette resultat er optimalt, for eksempel, hvis er en potens af to , så kan -dimensionelt projektivt rum ikke indlejres i -dimensionelt euklidisk rum. $m$ $m$ $(2m-1)$

Bevisskema

Sagerne og er sat direkte. $m=1$ $m=2$

For at bevise sagen bruger vi det faktum, at et generisk glat kort er en fordybelse med et begrænset antal tværgående selvskæringspunkter . $m\geqslant 3$ $f\colon M\to \mathbb{R} ^{{2m}}$

Du kan slippe af med disse selvkrydsningspunkter ved at anvende Whitney-tricket flere gange . Den består af følgende. Lad os tage kortlægningens selvskæringspunkter , som har forskellige fortegn. Tag point for hvilke og . Lad os forbinde og udjævne kurven . Lad os forbinde og udjævne kurven . Så er der en lukket kurve i . Dernæst konstruerer vi en kortlægning med en grænse . I almindelighed, er en investering og (bare her det faktum, at ) bruges. Så er det muligt at isotopere i et lille kvarter af disken , så dette par af selvskæringspunkter forsvinder. Det er let at tro på det sidste udsagn, hvis vi præsenterer et billede for (hvor diskens egenskaber viste sig at være opfyldt tilfældigt og ikke af generel position). Et nøjagtigt bevis er givet i afsnit 22.1 i Prasolovs bog [1] . ${\displaystyle p,q\in \mathbb {R} ^{2m))$ $f$ $x_{p},y_{p},x_{q},y_{q}\in M$ $f(x_{p})=f(y_{p})=p$ $f(x_{q})=f(y_{q})=q$ ${\displaystyle x_{p))$ ${\displaystyle x_{q))$ $x\subset M$ $y_{p}$ ${\displaystyle y_{q))$ $y\subset M$ $f(x\cup y)$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2m))$ $h\colon D^{2}\to \mathbb{R} ^{{2m}}$ $h(\partial D^{2})=f(x\kop y)$ $h$ $h(D^{2})\cap f(M)=h(\partial D^{2})$ $m\geqslant 3$ $f$ $h(D^{2})$ $m=1$

Her er en skitse af en anden måde at slippe af med selvskæringspunkter på et kort i generel position . Det er baseret på den vigtige idé om overtagelse . (Nogle gange kaldes denne anvendelse af denne anden idé fejlagtigt Whitneys trick.) Tag kortlægningens selvskæringspunkt . Tag point for hvilket . Lad os forbinde og udjævne kurven . Så er der en lukket kurve i . Dernæst konstruerer vi en kortlægning med en grænse . I almindelighed, er en investering og (bare her det faktum, at ) bruges. Nu kan vi isotopere i et lille kvarter af disken , så denne selvskæring forsvinder. Se bogen af Rourke og Sanderson [2] og afsnit 8 i Skopenkovs anmeldelse [3] for detaljer og generaliseringer . Dette ræsonnement udføres normalt i den stykkevise lineære kategori. I en glat kategori (som her) skal man til den sidste deformation bruge Haefliger-sætningen om sfærernes uknyttede tilstand (se [1] ). $f\colon M\to \mathbb{R} ^{{2m}}$ $p\in \mathbb{R} ^{{2m}}$ $f$ $x,y\i M$ $f(x)=f(y)=p$ $x$ $y$ $l\subset M$ $f(l)$ $\mathbb{R} ^{{2m}}$ $h\colon D^{2}\to \mathbb{R} ^{{2m}}$ $h(\partial D^{2})=f(l)$ $h$ $h(D^{2})\cap f(M)=h(\partial D^{2})$ $m\geqslant 3$ $f$ $h(D^{2})$

Variationer og generaliseringer

Lad der være en glat -dimensionel manifold, . $M$ $m$ $m>1$

Hvis ikke er en potens af to, så er der en indlejring i $m$ $M$ $\mathbb{R} ^{{2m-1}}$
$M$ kan indlæses i $\mathbb{R} ^{{2m-1}}$
- Desuden kan den nedsænkes i , hvor er antallet af 1'ere i binær repræsentation . $M$ $\mathbb{R} ^{{2m-a}}$ $-en$ $m$
  - Det sidste resultat er optimalt, for enhver er det muligt at konstruere en dimensionel manifold (vi kan tage produktet af
  rigtige projektive rum ), som ikke kan nedsænkes i . $m$ $m$ $\mathbb{R} ^{{2m-a-1}}$

Se også [4] [5]

Noter

↑ V. V. Prasolov , Elements of homology theory Arkivkopi af 3. april 2010 på Wayback Machine
↑ CP Rourke, BJ Sanderson, Introduction into piecewise-linear topology, Springer, 1972.
↑ Skopenkov, A. (1999), Nye resultater om indlejring af polyedre og manifolder i euklidiske rum, russisk matematik. Undersøgelser T. 54 (6): 1149-1196
↑ Skopenkov, A. (2008), Embedding and knotting of manifolds in Euclidean spaces , i: Surveys in Contemporary Mathematics, red. N. Young og Y. Choi, London Math. soc. Lect. noter. T. 347(2): 248-342, ISBN 13 , < http://arxiv.org/abs/math/0604045 > Arkiveret 25. juli 2020 på Wayback Machine
↑ Klassifikation af vedhæftede filer (eng.) . Dato for adgang: 18. december 2017. Arkiveret fra originalen 22. december 2017. (ubestemt)

Litteratur

Orevkov S.Yu. Fysisk bevis for Whitneys sætning om plane kurver// Samling " Mathematical Education ". Tredje serie. 1997. Udgave 1. s. 96-102