Moores kvotient rumsætning

Moores kvotientrumssætning, en klassisk påstand om todimensionel topologi, giver en tilstrækkelig betingelse for, at en sfæres kvotientrum er homøomorf i forhold til en todimensionel sfære.

Bevist af Robert Moore i 1925 .

Formuleringer

Lad være en surjektiv kontinuerlig kortlægning af en todimensionel sfære på et Hausdorff-rum . Antag, at forbilledet , såvel som dets komplement, for ethvert punkt er forbundet . Så er det homeomorphic , desuden er kortlægningen grænsen for homeomorfismer . $f\colon \mathbb {S} ^{2}\to X$ $\mathbb {S} ^{2}$ $x$ $x\i X$ $f^{-1}\{x\}$ ${\displaystyle \mathbb {S} ^{2}\backslash f^{-1}\{x\))$ $x$ $\mathbb {S} ^{2}$ $f\colon \mathbb {S} ^{2}\to X$ $f_{n}\colon \mathbb {S} ^{2}\to X$

Noter

En ækvivalent formulering af sætningen er givet på sproget for ækvivalensrelationen på . Kortlægningen definerer en ækvivalensrelation på , defineret som $\mathbb {S} ^{2}$ $f\colon \mathbb {S} ^{2}\to X$ $\sim$ $\mathbb {S} ^{2}$

x\sim y\iff f(x)=f(y).

Ækvivalensklasserne danner en semikontinuerlig familie af lukkede sæt. Det vil sige, hvis , og for nogen , så . ${\displaystyle [x]=\{\,y\in \mathbb {S} ^{2}\mid x\sim y\,\))$ $x_{n}\to x$ $y_{n}\to y$ ${\displaystyle x_{n}\sim y_{n))$ $n$ $x\sim y$

Hvis er en ækvivalensrelation på med semikontinuerlige lukkede ækvivalensklasser, såsom og for enhver mængde og er forbundet , så er kvotientrummet homøomorf . $\sim$ $\mathbb {S} ^{2}$ $x$ $[x]$ $\mathbb {S} ^{2}\omvendt skråstreg [x]$ $\mathbb {S} ^{2}/\sim$ $\mathbb {S} ^{2}$

Variationer og generaliseringer

I højere dimensioner, der er nødvendige for eksistensen af en tæt homeomorfisme, skal indsprøjtningen fra en manifold til et Hausdorff-rum være cellulær . Dette betyder, at for ethvert punkt og ethvert åbent sæt, der indeholder pre-image , kan man finde et lukket sæt , homøomorft til en bold, sådan at . $f\colon M\to X$ $M$ $x$ $x\i X$ $U$ $f^{-1}\{x\}$ $B$ $f^{-1}\{x\}\subset B\subset U$

Litteratur

RL Moore. Vedrørende øvre-semikontinuerlige samlinger af continua (engelsk) // Trans. amer. Matematik. Soc.. - 1925. - Bd. 25 . — S. 416–428 .
Daverman, Robert J. Nedbrydninger af manifolder. - Orlando, FL: Academic Press, Inc., 1986. - xii + 317 s. — (Ren og anvendt matematik, 124). - ISBN 978-0-8218-4372-7 .