Moreras sætning

Moreras sætning er en vending (ufuldstændig) af Cauchys integralsætning og er en af de grundlæggende sætninger i funktionsteorien for en kompleks variabel . Det kan formuleres sådan:

Hvis funktionen af en kompleks variabel i området er kontinuert , og integralet af den over enhver lukket ensretterbar kontur er lig med nul, dvs. $f(z)$ $z$ $D$ $\Gamma \subset D$

\oint \limits _{\Gamma }f(z)\,dz=0,

så er en analytisk funktion i . $f(z)$ $D$

Betingelsen for sætningen kan svækkes ved at begrænse os til kravet om, at integralerne taget langs grænsen af enhver trekant, der tilhører regionen, forsvinder . $D$

Idé om beviset

Beviset er baseret på det faktum, at en funktion, der opfylder sætningens betingelser, vil have en antiderivativ i , dvs. der eksisterer en funktion sådan, at $D$ $F(z)$

{\frac {dF(z)}{dz}}=f(z).

Men en funktion, der er komplekst differentierbar én gang, er analytisk, så dens afledte vil også være analytisk. $f$

Ansøgning

Moreras teorem er den vigtigste måde at bevise analyticiteten af en komplekst defineret funktion. Et af de centrale udsagn her er, at hvis en sekvens af analytiske funktioner konvergerer ensartet til en funktion , så $f_n$ $f$

\oint \lim _{n\to \infty }f_{n}(z)\,dz=\lim _{n\to \infty }\oint f_{n}(z)\,dz=0 ,

derfor vil grænsefunktionen ved Moreras sætning også være holomorf. Således er holomorfien af mange funktioner defineret af serier og integraler bevist, for eksempel Riemann zeta-funktionen

{\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s))))

og Euler gamma-funktionerne

\Gamma (\alpha )=\int \limits _{0}^{\infty }t^{\alpha -1}e^{-t}\,dt.

Moreras sætning bruges også til at bevise analyticiteten af en funktion bygget på princippet om symmetri .

Historie

Denne teorem blev opnået af den italienske matematiker Giacinto Morera i 1886 .

Litteratur

Shabat BV Introduktion til kompleks analyse. — M .: Nauka . - 1969, 577 s.

Moreras sætning

Idé om beviset

Ansøgning

Historie

Litteratur

Links