Luzins teorem

Luzins sætning er et udsagn om de nødvendige og tilstrækkelige betingelser for målbarheden af ​​en funktion af én reel eller kompleks variabel . Ifølge denne teorem er hver funktion, der kan måles på et segment , intet andet end en kontinuerlig funktion, der er forvrænget på et sæt vilkårligt lille mål . Denne erklæring omtales også ofte som -ejendom .

Ordlyd

For at en funktion, der er defineret på intervallet , kan måles, er det nødvendigt og tilstrækkeligt, at den har den såkaldte -egenskab : for enhver er der en funktion kontinuerlig på intervallet , således at mængden af ​​mængden er mindre end .

Bevis

Beviset i en form, der er tilgængelig for begyndere, er i bogen [1] . Derudover er Luzins sætning let afledt af Egorovs sætning [2] . I denne sætning kan et vilkårligt lille tal ikke erstattes af nul (nødvendigheden er overtrådt).

Opdagelseshistorie

Noter

  1. Sobolev V.I. , Forelæsninger om yderligere kapitler af matematisk analyse. - M .: Nauka, 1968 - s. 135.
  2. Kolmogorov A. N. , Fomin S. V. , Elementer i funktionsteorien og funktionel analyse. - ch. V, afsnit 4.7.

Litteratur