Luzins teorem

Luzins sætning er et udsagn om de nødvendige og tilstrækkelige betingelser for målbarheden af en funktion af én reel eller kompleks variabel . Ifølge denne teorem er hver funktion, der kan måles på et segment , intet andet end en kontinuerlig funktion, der er forvrænget på et sæt vilkårligt lille mål . Denne erklæring omtales også ofte som -ejendom . $\left[a,b\right]$ $C$

Ordlyd

For at en funktion, der er defineret på intervallet , kan måles, er det nødvendigt og tilstrækkeligt, at den har den såkaldte -egenskab : for enhver er der en funktion kontinuerlig på intervallet , således at mængden af mængden er mindre end . $f(x)$ $\left[a,b\right]$ $C$ $\varepsilon >0$ $\varphi(x)$ $\left[a,b\right]$ ${\displaystyle \{x\in [a,b]:f(x)\neq \varphi (x)\))$ $\varepsilon$

Bevis

Beviset i en form, der er tilgængelig for begyndere, er i bogen [1] . Derudover er Luzins sætning let afledt af Egorovs sætning [2] . I denne sætning kan et vilkårligt lille tal ikke erstattes af nul (nødvendigheden er overtrådt). $\varepsilon >0$

Opdagelseshistorie

Noter

↑ Sobolev V.I. , Forelæsninger om yderligere kapitler af matematisk analyse. - M .: Nauka, 1968 - s. 135.
↑ Kolmogorov A. N. , Fomin S. V. , Elementer i funktionsteorien og funktionel analyse. - ch. V, afsnit 4.7.

Litteratur

Kolmogorov A. N. , Fomin S. V. Elementer i teorien om funktioner og funktionel analyse. - udg. fjerde, revideret. — M .: Nauka , 1976. — 544 s.
Shilov G. E. Matematisk analyse. Særligt kursus. - 2. — M .: Fizmatlit , 1961. — 436 s.

Bogachev VI , Om historien om opdagelsen af Egorovs og Luzins teoremer . - Historisk og matematisk forskning , vol. 48 (13), 2009.