Levys sætning om monoton konvergens

Den monotone konvergenssætning ( Beppo Levys sætning ) er en sætning fra Lebesgues integrationsteori, som er af fundamental betydning for funktionel analyse og sandsynlighedsteori , hvor den tjener som et værktøj til at bevise mange udsagn. Giver en af de betingelser , hvorunder det er muligt at passere til grænsen under tegnet af Lebesgue-integralet [1] , sætningen giver os mulighed for at bevise eksistensen af en integrerbar grænse for nogle afgrænsede funktionelle sekvenser.

Forskellige formuleringer fra funktionsanalyse

I det følgende betegner rummet af integrerbare funktioner på et rum med mål . Målingen formodes ikke at være endelig. For alle integraler nedenfor er integrationsområdet hele rummet . $L_{1}(X,\mu )$ $(X,\mu )$ $x$

Levis sætning (om den monotone grænse for integrerbare funktioner). Lade være en monotont ikke-aftagende sekvens af funktioner, der kan integreres på , dvs. $f_{n}\in L_{1}(X,\mu )$ $x$

f_{n}(x)\leqslant f_{n+1}(x)

for alle og .

n\in {\mathbb {N}}

x\i X

Hvis deres integraler er bundet sammen:

\int f_{n}(x)d\mu \leqslant K

Derefter:

der er en endelig grænse næsten overalt (det vil sige, at funktionerne konvergerer punktvis til en eller anden funktion næsten overalt på ); $\lim \limits _{n\to \infty }f_{n}(x):=f(x)$ $f_{n}(x)$ $f(x)$ $x$
grænsefunktionen er integrerbar på , dvs. $f(x)$ $x$ $f\in L_{1}(X,\mu )$
funktioner konvergerer til en funktion i gennemsnit, det vil sige ifølge rumnormen ; $f_{n}(x)$ $f(x)$ $L_{1}(X,\mu )$
lad os tage passagen til grænsen under integraletegnet:

\int f(x)d\mu =\lim \limits _{n\to \infty }\int f_{n}(x)d\mu

En anden form for Levys teorem refererer til term-for-term integration af ikke-negative serier:

Levys teorem (om term-for-term integration af ikke-negative serier). Lade være ikke-negative funktioner integrerbare på . Hvis integralerne af seriens partielle summer er afgrænset samlet $\varphi _{n}\i L_{1}(X,\mu )$ $x$

\int \sum _{k=1}^{n}\varphi _{k}(x)d\mu \leqslant C

derefter

rækken konvergerer næsten overalt til en endelig værdi; $\sum _{{k=1}}^{\infty }\varphi _{k}(x)$
summen af rækken er en integrerbar funktion; $\sum _{{k=1}}^{\infty }\varphi _{k}(x)$
sekvensen af partielle summer af en serie konvergerer til dens sum i rumnormen ; $L_{1}(X,\mu )$
periodevis integration af den funktionelle serie er tilladt:

\int \sum _{k=1}^{\infty }\varphi _{k}(x)d\mu =\sum _{k=1}^{\infty }\int \varphi _{ k}(x)d\mu

Den første og anden form af sætningen går over i hinanden, når , eller . Den anden form tillader dog følgende udvidelse til integration af funktionelle serier, ikke nødvendigvis af konstant fortegn: $f_{n}(x)=\sum _{k=1}^{n}\varphi _{k}(x)$ $\varphi _{n}(x)=f_{n}(x)-f_{n-1}(x)$

Levis sætning (om term-for-term integration af funktionelle rækker). Lad være funktioner integrerbare på . Hvis serien konvergerer $\varphi _{n}\i L_{1}(X,\mu )$ $x$

\sum _{k=1}^{\infty }\int |\varphi _{k}(x)|d\mu <\infty

derefter

serien konvergerer absolut næsten overalt til en endelig værdi; $\sum _{{k=1}}^{\infty }\varphi _{k}(x)$
summen af rækken er en integrerbar funktion; $\sum _{{k=1}}^{\infty }\varphi _{k}(x)$
sekvensen af partielle summer af en serie konvergerer til dens sum i rumnormen ; $L_{1}(X,\mu )$
periodevis integration af den funktionelle serie er tilladt:

\int \sum _{k=1}^{\infty }\varphi _{k}(x)d\mu =\sum _{k=1}^{\infty }\int \varphi _{ k}(x)d\mu

For at få Lévys sætning i denne form, skal man anvende Lebesgues store konvergenssætning, da de partielle summer af serien tillader en integrerbar majorant :

\left|\sum _{k=1}^{n}\varphi _{k}(x)\right|\leqslant \sum _{k=1}^{\infty }|\varphi _{ k}(x)|=\varphi (x)

Formulering fra sandsynlighedsteori

Da den matematiske forventning til en stokastisk variabel er defineret som dens Lebesgue-integral over rummet af elementære udfald , overføres ovenstående sætning til sandsynlighedsteori . Lad være en monoton sekvens af ikke-negative a.s. integrerbare tilfældige variable. Derefter $\Omega$ $\{X_n\}_{n=1}^{\infty}$

{\mathbb {E}}\left[\lim \limits _{{n\to \infty }}X_{n}\right]=\lim \limits _{{n\to \infty }}{\mathbb { E}}X_{n}

Se også

Noter

↑ Det vil sige, det giver en betingelse, hvorunder konvergens og lighed af integraler følger fra konvergensen af den funktionelle sekvens til den summerbare grænse . $f_{n}(x)\højrepil f(x)$ $\lim _{{n\to \infty }}\int f_{n}(x)dx=\int f(x)dx$

Litteratur

Kolmogorov A.N. , Fomin S.V. Elementer i funktionsteori og funktionsanalyse. - udg. fjerde, revideret. — M .: Nauka , 1976 . — 544 s.
Trenogin V. A. Funktionel analyse. — M .: Nauka , 1980 . — 495 s.
Shilov G.E. Matematisk analyse. Særligt kursus. - 2. — M .: Fizmatlit , 1961 . — 436 s.