Kronecker-Cappelli-sætning

Kronecker-Capelli-sætningen er et kriterium for kompatibiliteten af et system af lineære algebraiske ligninger:

Et system af lineære algebraiske ligninger er konsistent , hvis og kun hvis rangeringen af dens hovedmatrix er lig med rangeringen af dens udvidede matrix.

For at et lineært system skal være kompatibelt , er det nødvendigt og tilstrækkeligt, at rangordenen af den udvidede matrix af dette system er lig med rangordenen for dens hovedmatrix . Bevist af Leopold Kronecker, Alfredo Capelli .

Forklaringer

Ligningssystemet kan løses, hvis og kun hvis , hvor er den udvidede matrix opnået fra matricen ved at tildele kolonnen [1] . $Ax=B$ $\operatørnavn {rang} A=\operatørnavn {rang} (A|B)$ $(A|B)$ $EN$ $B$

Bevis (systemkompatibilitetsbetingelser)

Nødvendighed

Lad systemet være konsekvent. Så er der tal sådan, at . Derfor er søjlen en lineær kombination af søjlerne i matrixen . Fra det faktum, at rangeringen af en matrix ikke ændres, hvis en række (kolonne) slettes fra systemet af dens rækker (kolonner) eller en række (kolonne) tildeles, som er en lineær kombination af andre rækker (kolonner), det følger heraf . $x_{1},\dots ,x_{n}\in {\mathbb R}$ $b=x_{1}a_{1}+\dots +x_{n}a_{n}$ $b$ $a_1,\prikker,a_n$ $EN$ $\operatørnavn {rang} A=\operatørnavn {rang} A|B$

Tilstrækkelighed

Lad . Lad os tage nogle grundlæggende mindre i matrixen . Siden vil det også være basis minor i matricen . Så vil den sidste søjle i matricen ifølge basis - minorsætningen være en lineær kombination af basiskolonnerne, det vil sige matrixens søjler . Derfor er søjlen af frie medlemmer af systemet en lineær kombination af søjlerne i matrixen . $\operatørnavn {rang} A=\operatørnavn {rang} A|B=r$ $EN$ $\operatørnavn {rang} A|B=r$ $A|B$ $A|B$ $EN$ $EN$

Konsekvenser

Antallet af hovedvariable i systemet er lig med systemets rang.
Et konsistent system vil blive defineret (dets løsning er unik), hvis systemets rang er lig med antallet af alle dets variable.

Se også

Noter

↑ Problemer og sætninger af lineær algebra, 1996 , s. 65.

Litteratur

V. A. Ilyin, G. D. Kim Linear Algebra and Analytic Geometry, Moskva: TK Velbi, Prospekt Publishing House, 2007, 400 pp.
Prasolov VV Problemer og sætninger af lineær algebra. — M .: Nauka, 1996. — 304 s. - ISBN 5-02-014727-3 .