Cauchy middelværdisætning

Cauchys middelværdisætning er en generalisering af formlen for endelige trin .

Ordlyd

Lad to funktioner og gives sådan, at:

1. og er definerede og kontinuerlige i intervallet ;
2. afledte og er definerede og endelige på intervallet ;
3. den afledte forsvinder ikke på intervallet (derfor ifølge Rolles sætning , ).

Så findes der, som er sandt:

Noter

• Efter eksplicit at have krævet det , kan vi svække betingelse 3 og kun kræve det og ikke forsvinde samtidigt i intervallet .
• Du kan helt udelade betingelse 3 ved at omskrive formlen som følger: .
• Geometrisk kan udsagnet omformuleres som følger: hvis og bevægelsesloven på planet er sat (det vil sige abscissen og ordinaten bestemmes gennem parameteren ), så på ethvert segment af en sådan kurve, specificeret af parametrene og , er der en tangentvektor kollineær til forskydningsvektoren fra til .

Bevis

For at bevise dette introducerer vi funktionen

Det er let at se, at betingelserne for Rolles sætning er opfyldt for det. Ved at bruge denne sætning får vi, at der er et punkt , hvor den afledede af funktionen er lig med nul:

Flytter vi det andet led i denne lighed til højre, får vi en formel fra den mest generelle formulering af sætningen.

I den oprindelige formulering er det tilbage at dividere ligheden med og . Begge disse tal vil være ikke-nul, selvom krav 3 er lempet til fraværet af fælles nuller for og : dette kræves eksplicit, og hvis , så

.

Men da det følger, er det en modstrid med betingelsen.

Litteratur

• Cauchys middelværdisætning på Encyclopedia of Mathematics