Kolmogorov-Arnold teorem

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 6. september 2021; checks kræver 4 redigeringer .

Kolmogorov-Arnold- sætningen , en sætning fra reel variabelanalyse og tilnærmelsesteori , siger, at enhver multidimensionel kontinuerlig funktion kan repræsenteres som en superposition af kontinuerte funktioner af en variabel. Det løser Hilberts trettende problem på en mere generel måde . [1] [2]

Andrei Kolmogorovs og Vladimir Arnolds værker fastslog, at hvis f er en multidimensionel kontinuerlig funktion, så kan f skrives som en endelig sammensætning af kontinuerlige funktioner af en variabel og en binær additionsoperation . [3] Nemlig

f(\mathbf {x} )=f(x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{q=0}^{2n}\Phi _{q}\left(\ sum _{p=1}^{n}\phi _{q,p}(x_{p})\right).

Konstruktionen af beviset, og endnu flere konkrete konstruktioner, kan findes i Brown og Griebel [4] .

På en måde viste Kolmogorov og Arnold, at den eneste sande funktion af mange variabler er addition, da alle andre funktioner kan skrives ved hjælp af funktioner af en variabel og addition. [5]

Historie

Kolmogorov-Arnold-sætningen er tæt forbundet med Hilberts 13. problem . David Hilbert formulerede i sit Paris -foredrag ved International Congress of Mathematicians i 1900 23 problemer , som han mente var vigtige for matematikkens videre udvikling. [6] I det 13. af disse opgaver var problemet at løse generelle ligninger af højere grader. Det er kendt, at for algebraiske ligninger af grad 4 kan rødderne beregnes ved formler, der kun indeholder radikaler og aritmetiske operationer (det vil sige, at sådanne ligninger kan løses i radikaler ). For højere ordener viser Galois teori , at løsninger til algebraiske ligninger ikke kan udtrykkes i form af grundlæggende algebraiske operationer. Det følger af Tschirnhaus-transformationerne , at den generelle algebraiske ligning

x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dots +a_{0}=0

kan konverteres til formularen Tschirnhaus-transformationen er defineret af en formel, der kun indeholder radikaler og aritmetiske operationer og transformationer. Således kan løsningen af en algebraisk gradsligning repræsenteres som en superposition af funktioner af to variable, hvis , og som en superposition af funktioner af variable, hvis . For løsningen er en superposition af aritmetiske operationer, radikaler og løsninger til ligningen . $y^{n}+b_{n-4}y^{n-4}+\dots +b_{1}y+1=0$ $n$ $n<7$ $n-4$ $n\geqslant 7$ $n=7$ $y^{7}+b_{3}y^{3}+b_{2}y^{2}+b_{1}y+1=0$

Yderligere forenkling af algebraiske transformationer synes umulig, hvilket fører til Hilberts formodning om, at "løsningen af en generel ligning af grad 7 ikke kan repræsenteres som en superposition af kontinuerte funktioner af to variable". Dette forklarer forholdet mellem Hilberts trettende problem og repræsentationen af multidimensionelle funktioner som en superposition af lavdimensionelle funktioner. I denne sammenhæng har det stimuleret adskillige undersøgelser i teorien om funktioner og andre relaterede problemer af forskellige forfattere. [7]

Varianter af Kolmogorov-Arnold-sætningen

En variant af Kolmogorovs teorem, der reducerer antallet af ydre funktioner , skyldes George Lorentz. [8] Han viste i 1962, at eksterne funktioner kan erstattes af en enkelt funktion . Mere præcist beviste Lorentz eksistensen af funktioner , , sådan at ${\displaystyle \Phi _{q))$ ${\displaystyle \Phi _{q))$ $\Phi$ ${\displaystyle \phi _{q,p))$ $q=0,1,\ldots ,2n$ $p=1,\ldots ,n,$

f(\mathbf {x} )=\sum _{q=0}^{2n}\Phi \left(\sum _{p=1}^{n}\phi _{q,p}( x_{p})\right).

Sprecher [9] erstattede de indre funktioner med en indre funktion med et tilsvarende skift i deres argumenter. Han beviste, at der er reelle værdier , en kontinuerlig funktion og en reel stigende kontinuerlig funktion c for sådan ${\displaystyle \phi _{q,p))$ ${\displaystyle \eta ,\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n))$ $\Phi \colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ $\phi \colon [0,2]\to \mathbb {R}$ ${\displaystyle \phi \i \operatørnavn {Læbe} {\big (}\ln 2/\ln(2N+2){\big )))$ $N\geqslant n\geqslant 2$

f(\mathbf {x} )=\sum _{q=0}^{2n}\Phi \left(\sum _{p=1}^{n}\lambda _{p}\phi ( x_{p}+\eta q)+q\right).

Phillip A. Ostrand [10] generaliserede Kolmogorovs teorem til at komprimere metriske rum. For lad være kompakte metriske rum af endelig dimension , og lad . Så eksisterer der en kontinuerlig funktion og kontinuerte funktioner, sådan at enhver kontinuerlig funktion kan repræsenteres som $p=1,\ldots ,m$ $X_{p}$ $n_{p}$ ${\displaystyle n=\sum _{p=1}^{m}n_{p))$ $\phi _{q,p}\colon X_{p}\to [0,1],\ q=0,\ldots ,2n,\ p=1,\ldots ,m$ $G_{q}\colon [0,1]\to \mathbb {R} ,\ q=0,\ldots ,2n$ $f\colon X_{1}\times \dots \times X_{m}\to \mathbb {R}$

f(x_{1},\ldots,x_{m})=\sum _{q=0}^{2n}G_{q}\left(\sum _{p=1}^{m} \phi _{q,p}(x_{p})\right).

Originale links

Andrei Kolmogorov , "Om repræsentationen af kontinuerte funktioner af flere variable ved superpositioner af kontinuerte funktioner af et mindre antal variable", Izvestiya AN SSSR , 108 (1956), s. 179-182; Engelsk oversættelse: Amer. Matematik. soc. Transl. 17 (1961), s. 369-373.
Vladimir Arnold , "Om en funktion af tre variable", Izvestiya AN SSSR , 114 (1957), s. 679-681; Engelsk oversættelse: Amer. Matematik. soc. Overs. 28 (1963), s. 51-54.

Yderligere læsning

S. Ja. Khavinson, Bedste tilnærmelse ved lineære superpositioner (Approximate Nomography) , AMS Translations of Mathematical Monographs (1997)

Kolmogorov-Arnold teorem

Historie

Varianter af Kolmogorov-Arnold-sætningen

Originale links

Yderligere læsning

Links