Kolmogorovs sætning om tre serier

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 23. december 2019; verifikation kræver 1 redigering .

Kolmogorovs sætning om tre serier , opkaldt efter Andrey Kolmogorov , sætter i sandsynlighedsteori et kriterium for konvergens med sandsynlighed en af en uendelig række af tilfældige variable gennem konvergensen af serier forbundet med deres sandsynlighedsfordelinger . Kolmogorovs sætning om tre serier, kombineret med Kroneckers lemma , kan bruges til at bevise den stærke lov om store tal .

Definitioner

Lad være noget konstant. Derefter $c$

\xi ^{c}={\begin{cases}\xi ,&|\xi |\leqslant c,\\0,&|\xi |>c.\end{cases}}

$jeg$ er en indikator på værdisættet af en tilfældig variabel.

Udtalelse af sætningen

Lade være en sekvens af uafhængige stokastiske variable. For at serien kan konvergere med sandsynlighed et , er det nødvendigt, at serien konvergerer for evt $\xi _{1},\xi _{2}...$ $\sum \xi$ $c>0$

\sum \mathbb {E} \xi _{n}^{c},

\sum D\xi _{n}^{c},

\sum P(|\xi _{n}|\geqslant c)

og det er tilstrækkeligt, at disse serier konvergerer for nogle . $c>0$

Bevis

Tilstrækkelighed

Ved to rækker-sætningen konvergerer rækken med sandsynlighed en. Men hvis , så ved Borel lemma - Cantelli med sandsynlighed en , og dermed for alle , undtagen måske et endeligt tal. Derfor konvergerer serien også. ${\displaystyle \sum \xi _{n}^{c))$ $\sum P(|\xi _{n}|\geqslant c)<\infty$ $\sum I(|\xi _{n}|\geqslant c)<\infty$ ${\displaystyle \xi _{n}=\xi _{n}^{c))$ $n$ $\sum \xi$

Nødvendighed

Hvis serien konvergerer, så og derfor kan der ikke forekomme mere end et begrænset antal hændelser for alle . Derfor ved anden del af Borel-Cantelli-lemmaet . Yderligere, fra seriens konvergens følger seriens konvergens . Derfor konvergerer hver af rækkerne ved to - seriesætningen . ${\displaystyle \sum \xi _{n))$ $\xi _{n}\højrepil 0$ $c>0$ ${\displaystyle {|\xi _{n}|\geqslant c))$ $\sum I(|\xi _{n}|\geqslant c)<\infty$ $\sum P(|\xi _{n}|\geqslant c)<\infty$ ${\displaystyle \sum \xi _{n))$ ${\displaystyle \sum \xi _{n}^{c))$ ${\displaystyle \sum \mathbb {E} \xi _{n}^{c))$ ${\displaystyle \sum D\xi _{n}^{c))$

Konsekvens

Lade være uafhængige stokastiske variable med . Så hvis $\xi _{1},\xi _{2}...$ $\mathbb {E} \xi _{n}=0$

\sum \mathbb {E} {\frac {\xi _{n}^{2}}{1+|\xi _{n}|}}<\infty ,

så konvergerer serien med sandsynlighed et. ${\displaystyle \sum \xi _{n))$

Eksempel

Som et eksempel kan du overveje den tilfældige harmoniske serie :

\sum _{n=1}^{\infty }\pm {\frac {1}{n))

hvor " " betyder, at tegnet for hvert led er valgt tilfældigt, uafhængigt og med sandsynligheder , . Ved at vælge som en serie, hvis medlemmer er og med lige sandsynlighed, er det let at verificere, at den opfylder sætningens betingelser og konvergerer med sandsynlighed en. På den anden side, en lignende serie af omvendte kvadratrødder med tilfældige tegn: $\om eftermiddagen$ $1/n$ $1/2$ $1/2$ $\xi _{n}$ $1/n$ $-1/n$