Earnshaws teorem

Earnshaw - sætningen er en sætning om det elektrostatiske felt , formuleret i det 19. århundrede af den engelske fysiker Earnshaw i 1842 [1] .

Det er en konsekvens af Gauss-sætningen .

Earnshaws teorem er en rent klassisk (ikke-kvante) sætning og har ingen kvanteanalog .

Ordlyd

Enhver ligevægtskonfiguration af punktladninger er ustabil, hvis ingen andre kræfter virker på dem bortset fra Coulomb- kræfterne til tiltrækning og frastødning.

Det er underforstået, at punktladninger er "uigennemtrængelige", det vil sige, at de ikke kan indtage en sammenfaldende position i rummet (det vil sige, at det i dette tilfælde, før punktladningerne indtager en sådan position, kræfter af ikke-coulomb natur begynde at virke mellem dem, for eksempel overfladernes elastiske kræfter - hvis vi betragter en punktladning som et begrænsningstilfælde af et lille legeme med endelige dimensioner [2] ); med andre ord, åbenlyse tilfælde af ligevægt med positive og negative ladninger, der falder sammen i rumlig position, er udelukket fra betragtning af sætningens betingelse. Dette kan motiveres på en alternativ måde til "uigennemtrængelighed" af det faktum, at sådanne tilfælde er trivielle og derfor ikke interessante, og også fysisk tvivlsomme (indebærer uendelig interaktionsenergi af ladninger i en sådan position).
"Eksterne" elektrostatiske felter (skabt af faste kilder) kan tilføjes til formuleringen af teoremet.
Selve sætningen siger ikke, at ligevægt overhovedet er mulig. Det er dog ikke svært at finde eksempler, der viser, at der kan eksistere ustabile stationære konfigurationer af punktafgifter. Ved ustabilitet forstås her, at enhver lille afvigelse fra den stationære konfiguration fører til en stigning i ustabiliteten og et sammenbrud af systemkonfigurationen.

Bevis

Der er to versioner af beviset, som er fuldstændig ækvivalente inden for rammerne af elektrostatik og i princippet er baseret på den samme fysiske (matematiske) idé, udtrykt i lidt forskellige termer .

Den første er implementeret med hensyn til feltstyrken og er baseret på Gauss-sætningen , den anden er med hensyn til potentialet og er baseret på Laplace (eller Poisson ) ligningen .

Fordelen ved den første metode er, at den ikke kun er anvendelig for potentielle felter , det vil sige, at den ikke kræver, at feltstyrken udtrykkes fuldt ud gennem et skalært potentiale . I dette tilfælde er det nok, at den overholder Gauss- loven [3] .

Beviset med hensyn til potentialet er lidt mere enkelt og geometrisk klart.

Bevis med hensyn til feltstyrke

Overvej en positiv punktladning. Kraften, der virker på den, er rettet langs vektoren af det elektrostatiske felt. For en stabil ligevægt på ethvert punkt i rummet er det nødvendigt, at der med en (lille) afvigelse fra den begynder en genoprettende kraft at virke på den. Det vil sige, at i tilfælde af elektrostatik, for at et sådant punkt kan eksistere, er det nødvendigt, at i et lille kvarter af dette punkt rettes feltvektoren, der er skabt af alle andre ladninger, mod det (i dets retning). Det vil sige, at feltlinjerne skal konvergere til et sådant punkt, hvis det findes. Det betyder (grundet Gauss-sætningen ), at den også skal indeholde en negativ ladning. Men en sådan variant af ligevægt opfylder ikke betingelsen for sætningen (hvis vi f.eks. betragter punktladninger som meget små faste kugler, vil de, før de når den beskrevne ligevægtsposition, kollidere med overflader, det vil sige i reel ligevægt der vil være kræfter af ikke-elektrostatisk karakter, hvis vi betragter dem som matematiske punkter, vil denne løsning indeholde uendelig interaktionsenergi, hvilket ikke er fysisk acceptabelt, og hvis vi betragter det fra et lidt andet synspunkt, er dette uden for anvendeligheden af klassisk elektrostatik).

Set fra Gauss-sætningens synspunkt betyder forekomsten af en genopretningskraft (rettet fra alle sider til et bestemt punkt), at vektoren for intensiteten af ydre kræfter skaber en negativ strøm gennem en lille overflade, der omgiver punktet af den påståede ligevægt. Men Gauss-sætningen siger, at strømmen af ydre kræfter gennem overfladen er nul, hvis der ikke er nogen ladning inde i denne overflade [4] . Vi får en modsigelse.

I tilfælde af en negativ ladning er betragtningen fuldstændig analog.

Bevis i form af potentiale

Lad os betragte en af punktladningerne i de andres felt og vise, at hvis den er i ligevægt, er den kun i en ustabil. (Vi vil kalde denne afgift distinguished).

Lad os antage, at den frigivne ladning er i ligevægt (det modsatte tilfælde er ikke interessant).

Potentialet skabt af resten af ladningerne i nærheden af vores udvalgte adlyder Laplace-ligningen (medmindre en af disse andre ladninger falder i position med positionen af den valgte ladning, hvilket er udelukket af formuleringen af sætningen [5] ), da dette er et elektrostatisk felt, og i dette område mangler rummet sine kilder (andre ladninger).

Laplace ligning:

{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial x^{2))}+{\frac {\partial ^{2}\phi}{\partial y^{2))}+{\ frac {\partial ^{2}\phi }{\partial z^{2))}=0

har som konsekvens udsagnet:

eller en anden afledt af potentialet i forhold til nogle af koordinaterne - eller (det vil sige, et af de tre led på venstre side) er mindre end nul, $\phi$ $x,y$ $z$
eller alle tre afledte er lig med nul.

I det første tilfælde er det indlysende, at potentialet ikke har et minimum på et givet punkt, hvilket betyder, at den potentielle energi af den pågældende ladning ikke har det på dette tidspunkt, det vil sige, at dens ligevægt er ustabil.

Det andet tilfælde falder i to muligheder:

1. Hvis alle tre anden afledede af potentialet er lig med nul ikke kun i punktet, men også i dets endelige naboskab (og de første afledede i selve punktet er lig med nul ved antagelsen om ligevægt), så er potentialet i dette kvarter er en konstant, og vi har åbenbart tilfældet med ligegyldig ligevægt, det vil sige, det er ikke en stabil ligevægt. Det kan påvises, at for et begrænset antal punktkilder er denne variant slet ikke realiseret. [6]

2. Hvis alle tre sekundafledte af potentialet kun er lig nul i et enkelt punkt (det såkaldte udfladningspunkt ), så kan det vises, at [7] :

det betragtede punkt er stadig ikke et ekstremum punkt;
dette tilfælde i sig selv kan ikke realiseres for nogen af ladningerne som valgt, for eksempel realiseres det ikke for ekstreme ladninger, for hvilke de anden afledte af potentialet altid er ikke-nul [8] .

Ovenstående bevis er således ret fuldstændigt for det første tilfælde (sagen i almindelighed) og skitserer kun de spørgsmål, der opstår i nogle særlige tilfælde, og svarene på dem.

Den nemmeste måde at besvare disse spørgsmål på er at bruge en tilgang baseret på Gauss-sætningen.

Generaliseringer

Det vil være trivielt at bemærke, at sætningen ikke kun gælder for elektrostatik, men også for feltet af alle kræfter, der beskrives som aftagende ligesom Coulombs lov [9] (f.eks. for Newtonske gravitationskræfter [10] ).
Sætningen gælder også for magnetostatik i tilfælde af faste dipoler og strømme (i tilstedeværelse af inducerede magnetiske momenter kan den overtrædes - se eksemplet nedenfor). Nøglen til beviset her er Gauss' teorem for magnetfeltet . I princippet kan beviset for magnetostatik reduceres til det elektrostatiske tilfælde ved hjælp af Ampères Magnetic Sheet Theorems , men så er det påkrævet at bruge den elektrostatiske formulering af sætningen ikke for punktpartikler, men for udvidede faste stoffer (se næste afsnit).
Sætningen er sand (i dette tilfælde bør formuleringen modificeres lidt [11] ) for stive systemer af punktladninger og faste [12] ladede faste (absolut faste) legemer (uigennemtrængelige for hinanden - i nogle af de betydninger svarende til dem, der er angivet i formuleringen for punktladninger - det vil sige i det mindste de ladede områder af faste stoffer). Ideen med beviset er at overveje små translationelle forskydninger af en stiv krop (uden rotationer). Så er den potentielle energi [13] af et stift ladningssystem simpelthen summen af hver ladning ganget med potentialet i dens nærhed, taget hver gang på et punkt på grund af kroppens totale forskydning:

U(\delta \mathbf {R} )=\Sigma _{i}q_{i}\phi (\mathbf {r} _{i}+\delta \mathbf {R} ),

hvor er vektoren for kroppens totale forskydning, for eksempel forskydningen af dets massecenter.

\delta {\mathbf R}

Da potentialet i nærheden af hvert punkt opfylder Laplace-ligningen (det er underforstået, at ladninger af et andet legeme er fraværende i uendelig nærhed af ladningen af det givne på grund af deres uigennemtrængelighed), så deres lineære kombination (sum med koefficienter) opfylder den også, det vil sige, at den også opfylder Laplace-ligningen [14] , hvilket betyder, at den ikke kan have et minimum. $\phi ({\mathbf r}_{i}+\delta {\mathbf R})$ $U(\delta {\mathbf R})$

Tilsyneladende er sætningen også sand for tilfældet med elastiske, i betydningen af Hookes lov , ladningsforbindelser.
Sætningen gælder for tilfælde af inducerede dipolmomenter (i elektrostatik og magnetostatik), forudsat at polariserbarhedskoefficienten for inducerede dipoler er positiv.
Sætningen er ikke sand for tilfældet med dipoler induceret af et eksternt felt med negativ polariserbarhed. Et sådant tilfælde er tilsyneladende ikke realiseret naturligt for elektriske dipoler (tilfældet med kunstig kontrol af dipolmomentet er ikke ment her, det betragtes nedenfor).

Men for inducerede magnetiske dipoler forekommer tilfældet med negativ polariserbarhed ret ofte, for eksempel for diamagnetiske eller superledende legemer, for hvilke generaliseringen af Earnshaws sætning derfor ikke holder , det vil sige, for dem er en stabil ligevægt ganske mulig ( W. Braunbeck , 1939 ) [15] .

Det er helt indlysende, at Earnshaws sætning ikke er anvendelig til tilfældet med gensidigt permeable faste stoffer. For eksempel, i samspillet mellem to ensartet ladede (ladninger af samme fortegn, samme eller forskellige i størrelse) kugler (med samme eller forskellige diametre, inklusive i stedet for en af kuglerne, kan du tage en punktladning), vil være en stabil ligevægt i en position, hvor deres centre falder sammen. Sandt nok er den praktiske værdi af en sådan teoretisk model som gensidigt permeable faste stoffer ikke særlig klar.

Grænser for anvendelighed

Grundlæggende-teoretiske grænser for anvendeligheden af sætningen

Earnshaws teorem som sådan (og som beskrevet i denne artikel) er en rent klassisk (ikke kvante)sætning. Dette bestemmer den grundlæggende grundlæggende grænse for dets anvendelsesområde.

Desuden, selvom det i nogle særlige tilfælde er muligt at formulere en vis kvanteanalog af det, er en sådan generalisering ikke desto mindre, når man taler generelt, og i mange specifikke nøgle- og fundamentale tilfælde, umulig (medmindre, selvfølgelig, sætningen med det modsatte udsagn betragtes som en generalisering).

I en nøddeskal er pointen, at i kvantetilfældet (det vil sige, når det er umuligt at begrænse os til den klassiske tilnærmelse), er der generelt set ingen gensidig uigennemtrængelighed (f.eks. kan en elektron og en proton godt optage samme sted, passere gennem hinanden og endda "ignorere" hinanden i dette tilfælde, med undtagelse af elektromagnetisk [16] interaktion.Dertil kommer selve konceptet med en klassisk punktpartikel i kvantetilfældet - dvs. hvis vi betragter ligevægten mellem en proton og en elektron, så på en rumlig skala af størrelsesordenen en atomdiameter - forsvinder selve begrebet en punktpartikel [17] .

Af alt dette følger en radikal ændring i situationen med mulighed for en stabil ligevægt af ladede partikler i kvantetilfældet.

I det væsentlige kan vi sige, at brintatomet er den stabile ligevægt mellem protonen og elektronen, der kun interagerer elektrostatisk [18] .

Anvendt aspekt

I teknik er Irnshaws sætning forbundet med visse restriktioner for at løse det tekniske problem med stabil indeslutning (eller suspension) af et bestemt legeme ved hjælp af felter (elektriske, magnetiske, ofte i kombination med et naturligt tyngdefelt), det vil sige uden direkte kontakt med solide og generelt materialeholdende strukturer.

Disse begrænsninger kan dog omgås.

De vigtigste metoder, der anvendes til dette, er:

Brugen af et magnetfelt og et legeme med en negativ magnetisk følsomhed (diamagnet) eller en superleder - en ideel diamagnet. I dette tilfælde er det muligt at opnå naturlig stabilitet uden brug af yderligere felter (og uden energiomkostninger). Det er tilstrækkeligt at vælge konfigurationen af feltkilderne og formen på det diamagnetiske legeme korrekt.
Brug af yderligere ikke-potentielle kræfter. Et eksempel på en interessant enhed er levitron , som bruger en roterende top til levitation . I dette tilfælde er den topformede magnet i en potentiel brønd, og gyroskopeffekten bruges til at overvinde hældinstabiliteten.
Anvendelse af automatiske styresystemer til holdefeltet og/eller elektriske eller magnetiske parametre (ladning, elektrisk eller magnetisk dipolmoment osv.) af det legeme, der holdes.

Ansøgning

Earnshaws sætning spillede historisk en vigtig rolle i teorien om atomets struktur - antagelserne om atomet som et system af statiske ladninger blev forkastet på grundlag af det, og den planetariske model af atomet blev introduceret for at forklare atomets stabilitet . Se dog ovenfor .

Det har anvendt værdi i teknologi ( se ovenfor ).

Noter

↑ Earnshaw, Samuel (1842). Om arten af de molekylære kræfter, som regulerer forfatningen af den lysende æter. Trans. Camb. Phil. soc. 7: s. 97-112.
↑ Det skal bemærkes, at hvis vi betragter punktladninger som det begrænsende tilfælde af faste, men absolut permeable for hinanden legemer, viser en sådan ligevægt med (delvis) neutralisering sig at være mulig, men en sådan model af en punktladning er afvist, når man formulerer sætningen som fysisk urealistisk (og det vil under alle omstændigheder give uendelige interaktionsenergier for punktgrænsen).
↑ For eksempel forbliver et sådant bevis gyldigt, når et eksternt elektrisk hvirvelfelt tilføjes til de elektrostatiske felter (som kan forekomme i elektrodynamik, selv uden at ændre sig i en vis periode).
↑ Vi mener ikke den ladning, hvis ligevægt vi overvejer, men nogle af de andre ladninger, der skaber et felt, hvor ligevægten af denne ladning betragtes.
↑ For en diskussion af alle forbehold henvises til ordlyden af afsnit .
↑ Men for at generalisere sætningen til tilfældet med faste stoffer med en kontinuerlig ladningsfordeling, forekommer tilfældet med indifferent ligevægt ret ofte (Se Generaliseringer ). Hvis vi betragter tilfældet med et system af punktafgifter uden overlejrede bindinger, men forudsætter et uendeligt antal af dem og endda en kontinuerlig fordeling af ladninger, så kan nogle af ladningerne være i ligevægt (f.eks. en diskret punktladning i midten af en hul ladet kugle, men ligevægten af andre ladninger (ekstrem) kan ikke være ligegyldig (det beviser vi ikke her).
↑ Beviset for begge er ikke givet her. I princippet krænker det at tage hensyn til disse subtile egenskaber noget med enkelheden i tilgangen ved at bruge potentialet for et strengt bevis. Selvom det på det "fysiske niveau af stringens" bestemt er klart og enkelt.
↑ I hvert fald i versionen af sætningen med et begrænset antal diskrete ladninger. For varianten med antagelsen om kontinuerlige fordelinger (et uendeligt antal) af ladninger, bør denne erklæring forfines yderligere.
↑ Da anvendelsen af Earnshaws sætning på tyngdekraften (hvis man ikke overvejer antityngdekraften) er uden interesse - se følgende note, så er der blandt de kendte fundamentale kræfter simpelthen ingen kandidater til dens anvendelse undtagen elektriske og magnetiske. Det kan dog anvendes i alle tilfælde, hvor sådanne kræfter indføres rent teoretisk, såvel som i tilfælde, hvor kræfter, der ligner Coulombs, optræder i nogle fænomenologiske teorier (for eksempel i hydrodynamik).
↑ Et eksempel på Newtonsk tyngdekraft er, selv om det formelt er fuldstændig korrekt, ikke særlig meningsfuldt. Faktum er, at ikke kun i Newton, men også i enhver anden teori om tyngdekraften, hvis den kun indebærer tiltrækning, er det faktum, at der ikke er nogen (statisk) ligevægt udover kollisionen af tiltrækkende objekter, fuldstændig indlysende uden Earnshaws teorem.
↑ Den oprindelige sætnings strenge ustabilitet skal erstattes af en ikke-streng, det vil sige, at tilfældet med indifferent ligevægt bliver acceptabelt (og i princippet ikke for sjældent).
↑ Her betragter vi det tilfælde, hvor ladningerne ikke er væsentlige, spidse eller fordelte, stift fikserede i volumen eller på overfladen af faste stoffer (eller på den ene eller anden måde forbundet med stive bindinger).
↑ Du kan også overveje en variant af beviset i form af kræfter og feltstyrke, som det blev gjort i beviset for hovedsætningen i artiklen, og ikke i form af potentiel energi og potentiale, som ville være fuldstændig ækvivalent. Men her begrænser vi os for kortheds skyld og enkelhed til den anden mulighed.
↑ Faktisk er sætningen for en stiv krop på dette tidspunkt blevet reduceret til en sætning for punktladninger.
↑ Encyclopedia of Physics, artikel "Earnshaws teorem".
↑ Og i forbindelse med studiet af ligevægt diskuterer vi - hovedsageligt elektrostatisk.
↑ Eller, hvis du vil, ændres det til ukendelighed. Selv udtrykket punktpartikel i sig selv , som det normalt bruges i kvantefysik, betyder i bund og grund helt anderledes end i det klassiske, i det store og hele vil det ikke være for stor en overdrivelse at sige, at brugen af udtrykket punktpartikel i kvantetilfældet er rent vilkårligt og næsten tilfældigt i overensstemmelse med den klassiske forståelse af begrebet.
↑ Det kunne hævdes (sammen med fysikere fra tidspunktet for kvanteteoriens fødsel), at denne ligevægt ikke er fuldstændig statisk. Faktisk har en elektron i et brintatom kinetisk energi og kvadratet af momentum. Men i kvantemekanikken kan elektronen simpelthen ikke stoppe helt, i det mindste, for at stoppe, skulle den optage hele det uendelige rum. Således kan vi sige, at enten forsvinder begrebet statisk ligevægt i kvantetilfældet helt (bliver uanvendeligt), eller det er stadig uafklaret, at brintatomet i jordtilstanden (uexciteret) er ligevægten mellem en proton og en elektron som statisk da det generelt er muligt i kvantetilfælde.