Goodsteins sætning
Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 11. november 2019; checks kræver 9 redigeringer .Goodsteins sætning er en matematisk logiks sætning om naturlige tal , bevist af Reuben Goodstein [1] . Hævder, at alle Goodstein-sekvenser ender på nul. Som vist af L. Kirby og Jeff Paris [2] [3] kan Goodsteins sætning ikke bevises i Peano-aksiomatikken ( ) (men kan bevises f.eks. i andenordens aritmetik ).
Goodstein-sekvensen
Betragt repræsentationen af positive heltal som en sum af potensled med samme base.
Lad os f.eks. skrive tallet 581 med grundtal 2:
Lad os dekomponere eksponenterne efter samme princip:
En lignende udvidelse kan opnås for ethvert tal.
Vi vil rekursivt anvende følgende operation på det resulterende udtryk:
- at øge "grundlaget" med 1 og trække 1 fra selve tallet.
Efter at have anvendt den første operation (skift 2 til 3 og træk en fra tallet), vil udtrykket blive opnået
Efter den anden (skift 3 til 4 og træk en fra tallet):
Efter den tredje (skift 4 til 5 og træk en fra tallet):
Goodsteins sætning siger, at slutresultatet altid vil være 0.
Et stærkere udsagn er også sandt: Hvis der i stedet for 1 lægges et eller andet vilkårligt tal til grundtallet og trækkes fra selve tallet, så vil 0 altid blive opnået, selvom eksponenterne ikke oprindeligt er dekomponeret i grundtallet 2.
Den sidste base som en diskret funktion af det oprindelige tal vokser meget hurtigt, og når allerede ved den værdien . For vil det altid være Woodall-nummeret [4] .
Eksempel
Overvej et eksempel på Goodstein-sekvensen for tallene 1, 2 og 3.
| Nummer | Grundlag | Indspilning | Betyder |
|---|---|---|---|
| en | 2 | en | en |
| 3 | elleve | 0 | |
| 2 | 2 | 2 1 | 2 |
| 3 | 3 1 - 1 | 2 | |
| fire | 2 - 1 | en | |
| 5 | 1-1 | 0 | |
| 3 | 2 | 2 1 + 1 | 3 |
| 3 | (3 1 + 1) − 1 = 3 1 | 3 | |
| fire | 4 1 − 1 = 1 + 1 + 1 | 3 | |
| 5 | (1 + 1 + 1) − 1 = 1 + 1 | 2 | |
| 6 | (1 + 1) − 1 = 1 | en | |
| 7 | 1 − 1 = 0 | 0 |
Noter
- ↑ Goodstein, R. (1944), On the restricted ordinal theorem , Journal of Symbolic Logic bind 9: 33–41 , < https://www.jstor.org/pss/2268019 >
- ↑ Kirby, L. & Paris, J. (1982), Tilgængelige uafhængighedsresultater for Peano aritmetic , Bulletin London Mathematical Society bind 14: 285–293 , < http://reference.kfupm.edu.sa/content/a/ c/accessible_independence_results_for_pean_59864.pdf > Arkiveret 25. august 2011 på Wayback Machine
- ↑ Roger Penrose. Store små og det menneskelige sind. Bilag 1.
- ↑ Overvej repræsentationen af et tal i formen , hvor er vores base. Når kun koefficienten på , lig med én, forbliver, angiver vi værdien af denne . Derefter, når tallet bliver til Det er let at vise, at i løbet af den videre udvikling fordobler hvert fald i koefficienten ved 1 k. Den sidste værdi af basen vil være .
