Greene-Tao teorem

Green-Tao-sætningen er et talteoretisk udsagn bevist af Ben Green og Terence Tao i 2004 [1] , at en sekvens af primtal indeholder aritmetiske progressioner af vilkårlig længde. Med andre ord er der aritmetiske progressioner af primtal med k led, hvor k kan være et hvilket som helst naturligt tal. Beviset ligger i en forlængelse af Szémerédys sætning .

Ordlyd

Selvom Green-Tao-sætningen kun er kendt som et bevis på selve kendsgerningen af tilstedeværelsen af vilkårligt lange progressioner i sættet af primtal, er der imidlertid [2] betydelige styrkelser af denne sætning: for det første forbliver sætningen sand for en vilkårligt sæt af primtal med positiv tæthed (med hensyn til sættet af alle primtal); for det andet er der separate øvre grænser for, hvor store elementerne i den minimale progression i det betragtede sæt kan være.

Yderligere i formuleringerne betyder sættet af primtal. Indtastningen betyder , hvor logaritmen er taget gange. ${\mathbb P}$ $\log _{[k]}x$ $\log \log \dots \log x$ $k$

Greene-Tao teorem

Lad være et sæt af primtal og dens tæthed med hensyn til primtal er strengt taget positiv. Så for enhver indeholder sættet en aritmetisk progression af længden . $EN$ $\delta _{\mathbb {P} }(A)=\lim \sup _{N\to \infty }{\frac {|A\cap \{1,\dots ,N\}|}{ |\mathbb {P} \cap \{1,\dots ,N\}|}}$ $k\geqslant 2$ $EN$ $k$

I sit separate tidligere arbejde [3] beviste Green et resultat vedrørende sættets distributionsfunktion , men kun for et særligt tilfælde af en tre-term progression. $EN$

Der er en konstant sådan, at hvis sættet af primtal opfylder , så indeholder det en tre-term aritmetisk progression. $c$ $A\subset \{1,\dots ,N\}$ $|A|>c{\frac {N{\sqrt {\log _{[5]}N))}{\log {N}{\sqrt {\log _{[4]}N)) }}$

Da den nødvendige funktion er asymptotisk mindre end antallet af primtal på segmentet , forbliver sætningen sand for uendelige sæt af positiv tæthed, når , . Således kan vi omformulere den sidste sætning for en fast tæthed. $[1,n]$ $|A\cap \{1,\dots ,N\}|>\delta {\frac {N}{\log N))$ $\delta>0$

Der er en konstant sådan, at for ethvert sæt af primtal og dets tæthed , vil følgende konsekvens være gældende: hvis , så indeholder en tre-term aritmetisk progression. $c$ $A\subset \{1,\dots ,N\}$ $\delta ={\frac {|A\cap \{1,\dots ,N\}|}{|\mathbb {P} \cap \{1,\dots ,N\}|))$ ${\displaystyle N\geqslant e^{e^{e^{\left(\left(c/\delta ^{2}\right)^{c/\delta ^{2}}\right))))) )$ $EN$

Eksempler

18. januar 2007 fandt Yaroslav Vroblevsky det første tilfælde af en aritmetisk progression af 24 primtal [4] : 468 395 662 504 823 + 205 619 223 092 870 n , fra n = 0 til 23.

Her er konstanten 223 092 870 produktet af primtal, der ikke er større end 23 (se primorial ).

Den 17. maj 2008 fandt Wroblewski og Raanan Chermoni en sekvens af 25 primtal: 6 171 054 912 832 631 + 366 384 223 092 870 n , fra n = 0 til 24.
Den 12. april 2010 fandt Benoit Perichon, ved hjælp af Wroblewski og Jeff Reynolds' program i PrimeGrid distributed computing-projektet , en aritmetisk progression på 26 primtal: 43 142 746 595 714 191 + 23 681 770 223 092 870 n , n = 0 til 25 (sekvens A204189 i OEIS ).

Variationer og generaliseringer

I 2006 generaliserede Tao og Tamar Ziegler resultatet til polynomielle progressioner [5] . Mere præcist, for alle givne polynomier med heltalskoefficienter P 1 , …, P k af en variabel m med et konstant led nul, er der uendeligt mange heltal x , m , således at x + P 1 ( m ), …, x + P k ( m ) er primtal. Det specielle tilfælde, hvor polynomierne er m , 2 m , …, km , medfører det foregående resultat (der er aritmetiske progressioner af primtal af længden k ).

Se også

Noter

↑ Green, Ben & Tao, Terence (2008), Primtallene indeholder vilkårligt lange aritmetiske forløb , Annals of Mathematics bind 167(2): 481-547 , DOI 10.4007/annals.2008.167.481 .
↑ I. D. Shkredov, Szemeredys sætning og problemer om aritmetiske progressioner Arkiveret 24. juli 2018 på Wayback Machine , s. 117.
↑ Green, Ben (2005), Roths sætning i primtallene , Annals of Mathematics bind 161 (3): 1609-1636 , DOI 10.4007/annals.2005.161.1609
↑ Jens Kruse Andersen, Primes in Arithmetic Progression Records Arkiveret 14. juli 2014 på Wayback Machine .
↑ Tao, Terence & Ziegler, Tamar (2008), Primtallene indeholder vilkårligt lange polynomiale progressioner , Acta Mathematica T. 201: 213-305 , DOI 10.1007/s11511-008-0032-5 .

Greene-Tao teorem

Ordlyd

Eksempler

Variationer og generaliseringer

Se også

Noter

Links