Bezouts sætning

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 22. oktober 2022; verifikation kræver 1 redigering .

Bezouts sætning siger, at resten af at dividere et polynomium med et binomium er. $P(x)$ $(xa)$ $P(a)$

Det antages, at koefficienterne for et polynomium er indeholdt i en kommutativ ring med enhed (for eksempel i feltet af reelle eller komplekse tal ).

Bevis

Divider polynomiet med binomiet med resten : $P(x)$ $xa$

P(x)=(xa)Q(x)+R(x),

hvor er resten. Da , Så er et polynomium af grad ikke højere end 0, det vil sige en konstant, betegner vi det med . Udskiftning , da vi har . $R(x)$ $\deg R(x)<\deg(xa)=1$ $R(x)$ $r$ $x=a$ $(aa)Q(a)=0$ $P(a)=R(x)=r$

Konsekvenser

Et tal er en rod af et polynomium , hvis og kun hvis det er divideret uden rest med et binomium (derfor følger det især, at polynomiets rødder er identisk med rødderne i den tilsvarende ligning ). $-en$ $p(x)$ $p(x)$ $xa$ $P(x)$ $P(x)=0$
Det frie led af et polynomium er deleligt med en hvilken som helst heltalsrod af et polynomium med heltalskoefficienter (hvis den førende koefficient er 1, så er alle rationelle rødder også heltal).
Lade være en heltalsrod af det reducerede polynomium med heltalskoefficienter. Så for ethvert heltal er tallet et multiplum af . $-en$ $Økse)$ $k$ $A(k)$ $ak$

Ansøgninger

Bezouts sætning og dens konsekvenser gør det nemt at finde rationelle rødder af polynomieligninger med rationelle koefficienter.

Se også

Algebras grundlæggende sætning

Litteratur

Vinberg E. B. Algebra kursus, - M . : Factorial Press Publishing House, 2002, ISBN 5-88688-060-7 .
Piotr Rudnicki (2004). "Lille Bézout-sætning (faktorsætning)" (PDF). Formaliseret matematik. 12(1): 49–58.