Hadamard-Cartan sætning

Hadamard-Cartan-sætningen  er et udsagn om, at den universelle dækning af en Riemann-manifold med ikke-positiv krumning er diffeomorf til det euklidiske rum .

Historie

For overflader i det euklidiske rum blev sætningen bevist af von Mangoldt i 1881 [1] , og uafhængigt af Hadamard i 1898 [2] . Den generelle sag blev bevist af Cartan i 1928 [3] .

Generaliseringer til metriske rum i forskellige generaliteter blev opnået af Busemann [4] [5] og Rinov [6] , Gromov [7] , og også af Alexander og Bishop [8] .

Ordlyd

Cartan-Hadamard-sætningen siger, at det universelle dækningsrum af en forbundet komplet Riemannmanifold af ikke-positiv sektionskrumning er diffeomorf til det euklidiske rum. Desuden er det eksponentielle kort på ethvert tidspunkt en diffeomorfisme.

Variationer og generaliseringer

• Sætningen generaliserer til Hilbert-manifolder i den forstand, at den eksponentielle kortlægning er en universel dækning. I dette tilfælde forstås fuldstændighed på den måde, at den eksponentielle afbildning er defineret på hele tangentrummet til punktet.

• Cartan-Hadamard-sætningen for metriske rum: et metrisk rum X med ikke-positiv krumning i betydningen af ​​Aleksandrov er et CAT(0) -rum.
  • Især, hvis X blot er forbundet , så er to punkter i det forbundet med en enkelt geodætisk, hvilket betyder, at X er sammentrækbar .

Antagelsen om ikke-positiv krumning kan lempes [8] . Vi kalder et metrisk rum for X konveks, hvis funktionen a ( t ) og b ( t ) for en hvilken som helst geodætik

er en konveks funktion af t . Et metrisk rum siges at være lokalt konveks , hvis hvert af dets punkter har et kvarter, der er konveks i den forstand. Cartan-Hadamard-sætningen for lokalt konvekse rum er formuleret som følger:

• Hvis X er et lokalt konveks komplet forbundet metrisk rum, så er den universelle dækning af X et konveks geodætisk rum med hensyn til den inducerede iboende metriske .
  • Især den universelle dækning af et sådant rum er sammentrækbar.

Noter

1. ↑ Hans von Mangoldt. Ueber diejenigen Punkte auf positiv gekrümmten Flächen, welche die Eigenschaft haben, dass die von ihnen ausgehenden geodätischen Linien nie aufhören, kürzeste Linien zu sein. (tysk)  // J. Reine Angew. Math.. - 1881. - Bd. 91 . — S. 23–53 .
2. ↑ Hadamard, J. Sur la forme des lignes géodésiques à l'infini et sur les géodésiques des surfaces réglées du second ordre  (fransk)  // Bulletin de la Société Mathématique de France. - 1898. - Bd. 26 . - S. 195-216 . Arkiveret fra originalen den 3. juni 2018.
3. ↑ Cartan, Elie. Lecons sur la geométrie des espaces de Riemann  (fransk) . - Paris: Gauthier-Villars, 1928. - vi + 273 s.
4. ↑ Busemann, H. Rum med ikke-positiv krumning. Acta Mathematica 80 (1948), 259-310.
5. ↑ Buseman G. Geometrien af ​​geodætik. - 1962.
6. ↑ Rinow, W. Die indre Geometrie der metrischen Raume. Springer, Berlin, Geidelberg, New York, 1961.
7. ↑ Gromov, M. Hyperbolske grupper. Essays i gruppeteori. (engelsk)  // Math. sci. Res. Inst. Publ.. - New York: Springer, 1987. - Vol. 8 . — S. 75–263 .
8. ↑ 1 2 S. B. Alexander, R. L. Biskop. Hadamard-Cartan-sætningen i lokalt konvekse metriske rum // Enseign. Matematik. (2). - 1990. - T. 36 , no. 3-4 . - S. 309-320 .