Tensor felt

Et tensorfelt er en mapping , der tildeler en tensor til hvert punkt i det pågældende rum .

Definition

Formelt kan et tensorfelt defineres på flere måder.

Definition i form af begrebet en struktur på en manifold

Ved at bruge det grundlæggende koncept for differentialgeometri - strukturen på manifolden - kan vi give følgende definition:

Lad , og være et rum af tensorer af typen med en naturlig tensorrepræsentation af gruppen , så er typestrukturen en førsteordens lineær struktur og kaldes et tensorfelt (eller tensorstruktur ) af typen . $V=\mathbb{R} ^{n}$ $V^{*}={\mathrm {Hom}}\,(V,\;\mathbb{R})$ $V_{q}^{p}=({\overset {p}{\otimes }}V))\otimes (({\overset {q}{\otimes }}V^{*}))$ $(p,\;q)$ $GL^{1}(n)=GL(n)$ $V_{q}^{p}$ $(p,\;q)$

Definition gennem begrebet et tensorbundt

Når man definerer et tensorfelt, kan man tage udgangspunkt i begrebet et tensorbundt .

Et tensorfelt er en sektion af et tensorbundt på en differentierbar manifold , der er isomorf i det generelle tilfælde til tensorproduktet af tangent- og cotangensbundter $T^{{p,\;q}}(M)$ $M$

T^{{p,\;q))(M)\cong {\overset {p}{\otimes }}T(M)\otimes {\overset {q}{\otimes }}T(M)^{ *}.

Ikke-streng definition

Mindre formelt kan et tensorfelt ses som en kortlægning , der tildeler en tensor med konstant valens til hvert punkt i manifolden , der overvejes. $M$

Omfang

Begrebet et tensorfelt opstår naturligt i mekanik og kontinuumfysik i beskrivelsen af anisotrope medier . Begrebet et tensorfelt finder anvendelse i alle anvendte videnskaber, hvor sådanne medier overvejes og studeres. Det er inkluderet i det matematiske apparat for generel og speciel relativitetsteori .

Udvidet tensorfelt

Begrebet et udvidet tensorfelt opstår som følge af en udvidelse af begrebet et tensorfelt i den ovenfor anførte betydning.

Ikke-streng definition

Den nemmeste måde at forstå en sådan udvidelse på er baseret på en ikke-streng definition, ifølge hvilken et tensorfelt er en kortlægning, der til hvert punkt i manifolden forbinder en eller anden fastvalens tensor relateret til dette punkt . Lad nu være en anden manifold, der er et linjebundt over , og lad være den kanoniske projektion for et sådant bundt. Så er det udvidede tensorfelt en mapping, der tildeler hvert punkt i manifolden en bestemt tensor med fast valens på , refereret til punktet . $\displaystyle x$ $\displaystyle M$ $\displaystyle (p,q)$ $\displaystyle x$ $\displaystyle {\tilde M}$ $\displaystyle M$ $\displaystyle \pi :{\tilde M}\til M$ $\displaystyle y$ $\displaystyle {\tilde M}$ $\displaystyle (p,q)$ $\displaystyle {\tilde M}$ $\displaystyle x=\pi (y)$

Litteratur

Matematisk encyklopædi / Ed. I. M. Vinogradova . - M . : Mir, 1965. - T. 5. - S. 333. - 1060 s.
Rashevsky, P.K. Riemann geometri og tensoranalyse . - 3. udg. — M .: Nauka, 1967. — 664 s.