Weyl tensor

Weil -kurvaturtensoren er nulsporsdelen af Riemann -krumningstensoren . Det er med andre ord en tensor, der opfylder alle Riemann-tensorens symmetriegenskaber med den yderligere betingelse, at Ricci-tensoren konstrueret af den er lig med nul.

Opkaldt efter Hermann Weyl .

Definition

Weyl-tensoren kan opnås fra krumningstensoren ved at trække visse kombinationer af Ricci-tensoren og skalarkrumningen fra den. Formlen for Weyl-tensoren skrives nemmest i form af Riemann-tensoren i form af valenstensoren (0,4):

W=R-{\frac {1}{n-2}}\venstre(Ric-{\frac {s}{n}}g\right)\circ g-{\frac {s}{2n(n- 1)}}g\cirkel g

hvor n er dimensionen af manifolden, g er metrikken , R er Riemann-tensoren, Ric er Ricci-tensoren, s er den skalære krumning, og h O k er det såkaldte Kulkarni-Nomizu- produkt, produktet af to symmetriske valenstensorer (0,2) er valenstensoren (0,4), der opfylder symmetrierne af krumningstensoren:

$(h\circ k)(v_{1},v_{2},v_{3},v_{4})=$	$h(v_{1},v_{3})k(v_{2},v_{4})+h(v_{2},v_{4})k(v_{1},v_{3 })-$
	${}-h(v_{1},v_{4})k(v_{2},v_{3})-h(v_{2},v_{3})k(v_{1}, v_{4}).$

I komponenter er Weyl-tensoren givet af:

W_{{abcd}}=R_{{abcd}}-{\frac {2}{n-2}}(g_{{a[c}}R_{{d]b}}-g_{{b[c }}R_{{d]a)))+{\frac {2}{(n-1)(n-2)}}R~g_{{a[c}}g_{{d]b}}

hvor er Riemann-tensoren, er Ricci-tensoren, er den skalære krumning og [] angiver antisymmetriseringsoperationen. $R_{abcd}$ $R_{{ab}}$ $R$

Egenskaber

Weil-tensoren kan kun have en ikke-triviel form i rum med mindst fire dimensioner. I todimensionelle og tredimensionelle rum er Weyl-tensorerne identisk lig nul.

Weyl-tensoren forbliver invariant under konforme transformationer af metrikken . Det vil sige, at hvis vi for en given metrik g introducerer en ny metrik ved hjælp af en funktion , så ændres (1,3)-valens Weyl-tensoren ikke: . Af denne grund kaldes Weyl-tensoren også den konforme tensor . Det følger af denne ejendom, at ${\tilde {g}}_{{ij}}=\Omega g_{{ij}}$ $\Omega$ ${\tilde {W}}_{{abc}}{}^{d}={W_{{abc}}}^{d}$
- for at en manifold skal være konformt euklidisk , skal dens Weyl-tensor være nul.
- For dimensioner ≥ 4 er denne betingelse også tilstrækkelig .
- For rum med dimension 3 er en nødvendig og tilstrækkelig betingelse for at være konformt euklidisk, at bomuldstensoren forsvinder .

Weyl tensor

Definition

Egenskaber

Se også