Telegrafligninger

Telegrafligninger - et par lineære differentialligninger, der beskriver fordelingen af spænding og strøm over tid og afstand i elektriske kommunikationslinjer. Ligningerne blev udarbejdet af Oliver Heaviside , som udviklede den elektriske kommunikationslinjemodel i 1880'erne .

Heavisides teori er anvendelig til elektriske strømtransmissionslinjer af alle frekvenser, inklusive telegraf-, telefon- og højere frekvenslinjer, såvel som elledninger og jævnstrømstransmissionslinjer.

Distribuerede parametre

Telegrafligninger, som alle andre ligninger, der beskriver elektriske fænomener, kan reduceres til et særligt tilfælde af Maxwells ligninger . Fra et praktisk synspunkt antages det, at lederne består af en uendelig kæde af fire poler, som hver er en uendelig kort sektion af linjen med følgende parametre:

Ledermodstand er repræsenteret som en seriemodstand (udtrykt i ohm pr. længdeenhed) . $R$
Induktans , som tager højde for virkningerne af selvinduktion og gensidig induktion fra tilstedeværelsen af et magnetfelt omkring strømførende ledere, er repræsenteret som en langsgående induktor ( henry pr. længdeenhed). $L$
Kapacitansen mellem to ledere er repræsenteret som en tværgående kondensator ( farad pr. længdeenhed). $C$
Ledningsevnen af et dielektrisk materiale (isolering), der adskiller to ledere, er repræsenteret som en tværgående modstand ( Siemens pr. længdeenhed). I modellen har denne modstand en ohm modstand. $G$ $1/G$

Parametrene og vist i figuren refererer til én leder, men repræsenterer faktisk den tilsvarende samlede værdi for begge ledere. Parametrene , , , fordelt over en uendelig kæde af firpoler kaldes linjens primære parametre . Du kan også bruge notationen , , , til at understrege, at værdierne er afledte i forhold til koordinaten. $R$ $L$ $R$ $L$ $C$ $G$ $R'$ $L'$ $C'$ $G'$

Ligninger

Tabsfri linje

Når elementerne og er små, kan deres værdi forsømmes, mens den elektriske kommunikationslinje anses for at være ideel. I dette tilfælde afhænger modellen kun af elementerne , og vi får et par førsteordens partielle differentialligninger, den ene funktion beskriver spændingsfordelingen langs linjen, og den anden beskriver strømfordelingen , begge funktioner afhænger af koordinaten og tid [1] [2] [3 ] [4] [5] [6] [7] : $R$ $G$ $L$ $C$ $U$ $jeg$ $x$ $t$

{\frac {\partial }{\partial x}}U(x,t)=-L{\frac {\partial }{\partial t}}I(x,t),

{\frac {\partial }{\partial x}}I(x,t)=-C{\frac {\partial }{\partial t}}U(x,t).

Disse ligninger kan kombineres for at give to separate bølgeligninger:

{\frac {\partial ^{2}}{{\partial t}^{2}}}U={\frac {1}{LC}}{\frac {\partial ^{2}}{ {\partial x}^{2))}U,

{\frac {\partial ^{2}}{{\partial t}^{2}}}I={\frac {1}{LC}}{\frac {\partial ^{2}}{ {\partial x}^{2))}I.

I det harmoniske tilfælde (forudsat at bølgen er sinusformet) er ligningerne forenklet til ${\displaystyle E=E_{0}\cdot e^{-j\omega ({\frac {x}{c}}-t)))$

{\frac {\partial ^{2}U(x)}{\partial x^{2))}+\omega ^{2}LC\cdot U(x)=0,

{\frac {\partial ^{2}I(x)}{\partial x^{2))}+\omega ^{2}LC\cdot I(x)=0,

hvor er frekvensen af den stationære bølge. $\omega$

Hvis linjen er uendelig lang eller ender i en karakteristisk kompleks impedans, viser ligningerne tilstedeværelsen af en bølge, der udbreder sig med hastighed . $v=1/{\sqrt {LC}}$

Denne udbredelseshastighed gælder for bølgefænomener og tager ikke højde for elektrondriftshastigheden . Den elektriske impuls forplanter sig med andre ord med en hastighed meget tæt på lysets hastighed, på trods af at elektronerne selv bevæger sig med kun få centimeter i sekundet. Det kan vises, at denne hastighed i en koaksial linje lavet af ideelle ledere adskilt af vakuum er lig med lysets hastighed [8] [9] .

Linje med tab

Når elementerne og ikke kan negligeres, har de originale differentialligninger, der beskriver den elementære sektion, formen: $R$ $G$

{\frac {\partial }{\partial x}}U(x,t)=-L{\frac {\partial }{\partial t}}I(x,t)-RI(x,t ),

{\frac {\partial }{\partial x}}I(x,t)=-C{\frac {\partial }{\partial t}}U(x,t)-GU(x,t ).

Ved at differentiere den første ligning med hensyn til og den anden med hensyn til , efter at have udført nogle algebraiske transformationer, opnår vi et par hyperbolske partielle differentialligninger, som hver indeholder en ukendt: $x$ $t$

{\frac {\partial ^{2}}({\partial x}^{2}}}U=LC{\frac {\partial ^{2}}{{\partial t}^{2} }}U+(RC+GL){\frac {\partial }{\partial t}}U+GRU,

{\frac {\partial ^{2}}({\partial x}^{2}}}I=LC{\frac {\partial ^{2}}{{\partial t}^{2} }}I+(RC+GL){\frac {\partial }{\partial t}}I+GRI.

Hvis linjetabet er lille (lille og ), vil signalet falde med stigende afstand som , hvor . $R$ $G=0$ ${\displaystyle e^{-\alpha x))$ $\alpha =R/(2Z_{0})$

Disse ligninger ligner den homogene bølgeligning med yderligere betingelser på og og deres første afledte. Yderligere forhold får signalet til at henfalde og spredes over tid og over afstand. $U$ $jeg$

Retning af signaludbredelse

Bølgeligningerne beskrevet ovenfor tager højde for, at bølgeudbredelsen kan være frem og tilbage. Givet forenklingen af den tabsfri linje (forudsat og ), kan løsningen repræsenteres som $R=0$ $G=0$

U(x,t)=f_{1}(\omega t-kx)+f_{2}(\omega t+kx),

hvor:

k=\omega {\sqrt {LC}}=\omega /v,

k

kaldes bølgetallet og måles i radianer pr. meter,

\omega

er vinkelfrekvensen (i radianer pr. sekund),

f_1

og kan være enhver funktion, og

f_{2}

v=1/{\sqrt {LC}}

er bølgeudbredelseshastigheden (eller fasehastigheden ).

$f_1$ repræsenterer en bølge, der bevæger sig i den positive akseretning (venstre mod højre), repræsenterer en bølge, der bevæger sig fra højre mod venstre. Det kan ses, at den øjeblikkelige værdi af spændingen på ethvert punkt på linjen er summen af spændingerne forårsaget af begge bølger. $x$ $f_{2}$ $x$

Da forholdet mellem strøm og spænding er beskrevet ved telegrafligninger, kan vi skrive: $jeg$ $U$

I(x,t)={\frac {f_{1}(\omega t-kx)}{Z_{0))}-{\frac {f_{2}(\omega t+kx)} {Z_{0}}},

hvor er transmissionsledningens bølgeimpedans , som for en tabsfri linje kan findes som $Z_0$

Z_{0}={\sqrt {\frac {L}{C))}.

Løsning af telegrafligninger

Løsningen af telegrafligningerne er f.eks. på s. 348 i eksempel 80 (plus løsningen fra eksempel 79 på s. 347-348) i bogen [10] .

Se også

Noter

↑ John D. Kraus. Elektromagnetik . _ - Tredje. - New York, NY: McGraw-Hill Education , 1984. - S. 380-419. — ISBN 0070354235 .
↑ William H. Hayt. Teknisk elektromagnetik . — Femte. - New York, NY: McGraw-Hill Education , 1989. - S. 382-392. — ISBN 0070274061 .
↑ Stanley V. Marshall. Elektromagnetiske koncepter og anvendelser . - Sekund. - New York, NY: Prentice-Hall , 1987. - S. 359-378. — ISBN 0132490048 .
↑ Matthew NO Sadiku. Elementer af elektromagnetik . — Først. — Orlando, Florida: Saunders College Publishing, 1989. - S. 497-505. — ISBN 993013846. Arkiveret 6. marts 2016 på Wayback Machine
↑ Rodger F. Harrington. Tidsharmoniske elektromagnetiske felter . — Først. - New York, NY: McGraw-Hill Education , 1961. - S. 61-65. — ISBN 0070267456 .
↑ John J. Karakash. Transmissionslinjer og filternetværk . — Først. - New York, NY: Macmillan, 1950. - S. 5-14.
↑ Georges Metzger. Transmissionsledninger med pulsexcitation . — Først. - New York, NY: Academic Press , 1969. - S. 1-10.
↑ Matthew NO Sadiku. Elementer af elektromagnetik . — Først. — Orlando, Florida: Saunders College Publishing, 1989. - S. 501-503. — ISBN 993013846. Arkiveret 6. marts 2016 på Wayback Machine
↑ Stanley V. Marshall. Elektromagnetiske koncepter og anvendelser . - Sekund. - New York, NY: Prentice-Hall , 1987. - P. 369-372. — ISBN 0132490048 .
↑ Bronshtein I. N., Semendyaev K. A. Håndbog i matematik for ingeniører og studerende ved tekniske universiteter Arkiveret kopi af 23. marts 2017 på Wayback Machine , 13. udgave. M .: Nauka, 1986.