Tangentiel trekant

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 13. august 2022; verifikation kræver 1 redigering .

En tangentiel trekant (af latin tangens - tangent) er en konstruktion, der giver en ny trekant langs en given trekant.

Hvis en cirkel beskrives omkring en given trekant, så kaldes trekanten, der dannes af tre lige tangenter til cirklen, der er tegnet gennem hjørnerne , tangentiel. $\trekant ABC$ $\triangle A'B'C'$ $EN$ $B$ $C$

Vertex koordinater

Trilineære koordinater for hjørnerne af en tangentiel trekant

A'=-a:b:c

B'=a:-b:c

C'=a:b:-c

Egenskaber

Siderne i en tangentiel trekant er antiparallelle med de tilsvarende modsatte sider af den givne trekant (ved egenskaben antiparallelisme af tangenter til en cirkel). $\triangle A'B'C'$
Siderne i en tangentiel trekant er parallelle med de tilsvarende sider af en ortotrekant .
Cirklen indskrevet i en tangentiel trekant er den omskrevne cirkel i forhold til den givne trekant . $\triangle A'B'C'$ $\trekant ABC$
Og omvendt: midten af en cirkel indskrevet i en tangentiel trekant falder sammen med midten af en cirkel, der er omskrevet om en given trekant . $\triangle A'B'C'$ $\trekant ABC$
Forholdet mellem vinklerne i en tangentiel trekant og en given trekant ΔABC $\ A'=\pi -2A;$ $\ B'=\pi -2B;$ $\ C'=\pi -2C.$
For en given trekant er dens tangentielle trekant og ortotrekant ens. $\trekant ABC$ $\triangle A'B'C'$ $\triangle A''B''C''$
Arealet af denne trekant er lig med det geometriske middel mellem arealet af en tangentiel trekant og en ortotrekant . $\trekant ABC$
Arealet af en tangentiel trekant er [1] : $S_{tan}={\frac {S(2abc)^{2}}{(a^{2}+b^{2}-c^{2})(a^{2}+c^ {2}-b^{2})(b^{2}+c^{2}-a^{2})}}$

hvor er arealet af trekanten ; - dens respektive sider. Eller [2]

S

\trekant ABC

a,b,c

S_{tan}={\frac {1}{2}}|S\sec A\sec B\sec C|

Siderne i en tangentiel trekant er [2] $a'={\frac {2a^{3}bc}{|a^{4}-(b^{2}-c^{2})^{2}|}}$ $b'={\frac {2ab^{3}c}{|b^{4}-(c^{2}-a^{2})^{2}|}}$ $c'={\frac {2abc^{3}}{|c^{4}-(b^{2}-a^{2})^{2}|}}$
Siderne i en tangentiel trekant er antiparallelle med de tilsvarende modsatte sider af den givne trekant (ved egenskaben antiparallelisme af tangenter til en cirkel).

Bemærkelsesværdige punkter

Følgende tabel viser overensstemmelsen mellem de bemærkelsesværdige punkter i den tangentielle trekant med midten af den oprindelige trekant. X n betyder indekset for det bemærkelsesværdige punkt i Kimberlings liste [3] .

X n	Centrum af en tangentiel trekant	X n	Midten af den oprindelige trekant
x2 _	trekant tyngdepunkt	X 154	X 3 er det konjugerede punkt for X 6
x3 _	midten af den omskrevne cirkel	x26 _	centrum af den omskrevne cirkel i en tangentiel trekant
x4 _	ortocenter	X 155	korrekt centrum af ortotrekanten
x5 _	midten af ni punkter	X 156	X 5 tangentiel trekant
x6 _	symmedian skæringspunkt	X 157	X 6 tangentiel trekant
X 30	Euler linje uendeligt punkt	X 1154	isogonal konjugation af punkt X 1141
X 523	isogonal konjugation af punkt X 110	X 1510	krydsforskel af Napoleon-punkter

Se også

Noter

↑ Formlen kan udledes af den forrige egenskab og arealet af orthotrekanten
↑ 1 2 Weisstein, Eric W. Tangential Triangle på Wolfram MathWorld- webstedet .
↑ Encyclopedia of Triangle Centres . Hentet 18. august 2015. Arkiveret fra originalen 19. april 2012. (ubestemt)

Litteratur

Zetel S. I. . Ny trekantgeometri. En guide til lærere. 2. udg. - M. : Uchpedgiz, 1962. - 153 s.
Ponarin Ya. P. Elementær geometri. I 2 bind - M . : MTsNMO , 2004. - S. 38-39. — ISBN 5-94057-170-0 .