Konvergens næsten overalt

En sekvens af funktioner konvergerer næsten overalt til en grænsefunktion, hvis det sæt af punkter, som der ikke er konvergens for, har nulmål [1] .

Definition

Lad være et mellemrum med mål , og . De siger, at det konvergerer næsten overalt, og de skriver - a.e. hvis [1] $(X,\mathcal{F},\mu)$ $f_{n},f:X\to \mathbb {R} ,\;n\in \mathbb {N}$ $\{f_{n}\}$ $f_{n}\til f$ $\mu$

\mu \left(\{x\in X\mid \lim \limits _{n\to \infty }f_{n}(x)\not =f(x)\}\right)=0

Sandsynlighedsterminologi

Hvis der er et sandsynlighedsrum , og er tilfældige variabler sådan, at $(X,{\mathcal {F)),\mu )=(\Omega ,{\mathcal {F)),\mathbb {P} )$ $Y_{n},Y$

\mathbb {P} \left(\{\omega \in \Omega \mid \lim \limits _{n\to \infty }Y_{n}(\omega )=Y(\omega )\}\ højre)=1

så siger vi, at sekvensen konvergerer næsten sikkert til [2] . $\{Y_{n}\}$ $Y$

Konvergensegenskaber a.e.

Punktvis konvergens indebærer naturligvis konvergens næsten overalt.
Lad , hvor , og konvergere næsten overalt til . Lad også der være en funktion sådan, at for alle og næsten alle ( summable majorant ). Så og ind . Uden en a priori-antagelse om eksistensen af en integrerbar majorant, indebærer konvergens næsten overalt (og endda overalt) ikke konvergens i . For eksempel konvergerer en sekvens af funktioner til 0 næsten overalt på , men konvergerer ikke på . $f_{n}\in L^{p}(X,{\mathcal {F)),\mu )\;\forall n\in \mathbb {N}$ $1\leq p<\infty$ $\{f_{n}\}$ $f$ $g\in L^{p}(X,{\mathcal {F)),\mu )$ $|f_{n}(x)|\leq |g(x)|$ $n$ $x\i X$ $f\in L^{p}(X,{\mathcal {F)),\mu )$ $f_{n}\til f$ $L^{p}$ $L^{p}$ $n\chi _{[0,1/n]}$ $[0,1]$ $L^{1}[0,1]$
Konvergens næsten overalt indebærer konvergens i mål, hvis målet er endeligt. For rum med uendelig mål er dette ikke sandt [3] .

Se også

Næsten overalt

Noter

↑ 1 2 Dyachenko, Ulyanov, 1998 , s. 55 §13. konvergens næsten overalt.
↑ Mathematical Encyclopedia, 1985 , s. 313 Konvergens er næsten sikker.
↑ Dyachenko, Ulyanov, 1998 , s. 57 Sætning 13.2 (Riesz-eksempel).

Litteratur

Dyachenko M. I., Ulyanov P. L. Mål og integral . - M . : "Faktorial", 1998.
Matematisk leksikon / I.M. Vinogradov. - 1985. - V. 5 (Random variabel - Celle).