Konvergens i mål

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 28. september 2021; verifikation kræver 1 redigering .

Konvergens i mål (i sandsynlighed) i funktionel analyse , sandsynlighedsteori og relaterede discipliner er en slags konvergens af målbare funktioner ( stokastiske variable ) givet på et rum med et mål ( sandsynlighedsrum ).

Definition

Lad være et rum med mål. Lad være målbare funktioner på dette rum. En sekvens af funktioner siges at konvergere i mål til en funktion if $(X,\mathcal{F},\mu)$ $f_n,f:X \til \mathbb{R}^m,\; n=1,2,\ldots$ $\{f_n\}_{n=1}^{\infty}$ $f$

\forall \varepsilon > 0, \; \lim\limits_{n \to \infty}\mu(\{x \in X \mid \|f_n(x) - f(x)\|>\varepsilon\}) = 0

Betegnelse :. $f_n \stackrel{\mu}{\longrightarrow} f$

Med hensyn til sandsynlighedsteori, hvis et sandsynlighedsrum er givet med stokastiske variable defineret på det , så siger de, at det konvergerer i sandsynlighed til hvis $(\Omega ,{\mathcal {F}),\mathbb {P} )$ $X_n,X,\; n=1,2,\ldots$ $\{X_n\}_{n=1}^{\infty}$ $x$

\forall \varepsilon > 0,\; \lim\limits_{n \to \infty} \mathbb{P}(|X_n - X| > \varepsilon) = 0

Betegnelse :. $X_n \stackrel{\mathbb{P}}{\longrightarrow} X$

Bemærk

Definitionen af konvergens i mål (i sandsynlighed) kan generaliseres til afbildninger ( tilfældige elementer ), der tager værdier i et vilkårligt metrisk rum .

Egenskaber for konvergens i mål

Sætning (Riess F.): Hvis en sekvens af funktioner konvergerer i mål til , så har den en undersekvens , der konvergerer til - næsten overalt . $f_n$ $f$ $f_{n_{k}}$ $f$ $\mu$

Sætning (kriterium for konvergens i mål): Hvis målet er endeligt, så konvergerer en sekvens af funktioner i mål til, hvis og kun hvis der for en hvilken som helst undersekvens af sekvensen eksisterer en undersekvens, der konvergerer til næsten overalt. $f_n$ $f$ $f_n$ $f$

Hvis rækkefølgen af funktioner konvergerer i mål til , og , hvor , så , og konvergerer til i . $f_n$ $f$ $\forall n \in \mathbb{N},\; |f_n| \leqslant g$ $g \i L^p,\; p \geqslant 1$ $f_n, f \in L^p$ $f_n$ $f$ $L^{p}$

Hvis en sekvens af funktioner i et rum med et endeligt mål konvergerer -næsten overalt til , så konvergerer den også i mål. Det modsatte er generelt ikke sandt. $f_n$ $\mu$ $f$

Hvis en sekvens af funktioner konvergerer i k , så konvergerer den også i mål. Det modsatte er generelt ikke sandt. $f_n$ $L^{p}$ $f$

Hvis en sekvens af stokastiske variable konvergerer i sandsynlighed til , så konvergerer den til og i fordeling . $X_n$ $x$ $x$
Hvis en sekvens af stokastiske variable konvergerer i sandsynlighed til , så for enhver kontinuert funktion er det sandt, at . Dette udsagn gælder især for enhver kontinuerlig funktion af flere variable $X_n$ $x$ $f(x)$ $f(X_{n})\to f(X),n\to \infty$ $X_{n}+Y_{n}\til X+Y,n\til \infty$