Konvergens i mål
Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den
version , der blev gennemgået den 28. september 2021; verifikation kræver
1 redigering .
Konvergens i mål (i sandsynlighed) i funktionel analyse , sandsynlighedsteori og relaterede discipliner er en slags konvergens af målbare funktioner ( stokastiske variable ) givet på et rum med et mål ( sandsynlighedsrum ).
Definition
Lad være et rum med mål. Lad være målbare funktioner på dette rum. En sekvens af funktioner siges at konvergere i mål til en funktion if
![(X,\mathcal{F},\mu)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d1efec76d53b2977e284b7cf525c5ceffe299e3)
![f_n,f:X \til \mathbb{R}^m,\; n=1,2,\ldots](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2e66db5e8b77eaf2bf8e6a8b65fdd0121163548)
![\{f_n\}_{n=1}^{\infty}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29610386fccf5945853b6fe9f61d8e0f1b41f36d)
![f](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61)
![\forall \varepsilon > 0, \; \lim\limits_{n \to \infty}\mu(\{x \in X \mid \|f_n(x) - f(x)\|>\varepsilon\}) = 0](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a63d831c42f0139206c41a51d14efa397372b070)
.
Betegnelse :.
![f_n \stackrel{\mu}{\longrightarrow} f](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6e52453b6d734824fa39856b1a6c8b810cca89f)
Med hensyn til sandsynlighedsteori, hvis et sandsynlighedsrum er givet med stokastiske variable defineret på det , så siger de, at det konvergerer i sandsynlighed til hvis
![(\Omega ,{\mathcal {F}),\mathbb {P} )](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6bb8743f7565082ed1a9ee0490d9d71be82eafaa)
![X_n,X,\; n=1,2,\ldots](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d20cb7b021f4ec4b9411a3e19954d456149264f)
![\{X_n\}_{n=1}^{\infty}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3dbb8ecc0e41cc2b7a0cf789d3c6f800362f5430)
![x](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab)
![\forall \varepsilon > 0,\; \lim\limits_{n \to \infty} \mathbb{P}(|X_n - X| > \varepsilon) = 0](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af41f96329e25ef4eddac3a0eed5a8f016ead751)
.
Betegnelse :.
![X_n \stackrel{\mathbb{P}}{\longrightarrow} X](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f30f1259151682c4f0fe761862d21f1cacfce25)
Bemærk
Definitionen af konvergens i mål (i sandsynlighed) kan generaliseres til afbildninger ( tilfældige elementer ), der tager værdier i et vilkårligt metrisk rum .
Egenskaber for konvergens i mål
- Sætning (Riess F.): Hvis en sekvens af funktioner konvergerer i mål til , så har den en undersekvens , der konvergerer til - næsten overalt .
![f_n](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2702450f0458a5e01a698e248af552a7fab2b50)
![f](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61)
![f_{n_{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/540cc3b040a9c61f6bacbd8c9b15a38772b1148b)
![\mu](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9fd47b2a39f7a7856952afec1f1db72c67af6161)
- Sætning (kriterium for konvergens i mål): Hvis målet er endeligt, så konvergerer en sekvens af funktioner i mål til, hvis og kun hvis der for en hvilken som helst undersekvens af sekvensen eksisterer en undersekvens, der konvergerer til næsten overalt.
![f_n](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2702450f0458a5e01a698e248af552a7fab2b50)
![f](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61)
![f_n](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2702450f0458a5e01a698e248af552a7fab2b50)
![f](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61)
- Hvis rækkefølgen af funktioner konvergerer i mål til , og , hvor , så , og konvergerer til i .
![f_n](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2702450f0458a5e01a698e248af552a7fab2b50)
![f](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61)
![\forall n \in \mathbb{N},\; |f_n| \leqslant g](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab2cfdc042ed4282ab28adcc335dfbe73d0475eb)
![g \i L^p,\; p \geqslant 1](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4a1fc60b4afae41b8ef3f4d9451c08d1052ae23)
![f_n, f \in L^p](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54fe4afb0482c94ce7f20dc42209b861f60e215e)
![f](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61)
![L^{p}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf2317aaca1ecee4b8ccf667bc1001059eae5850)
- Hvis en sekvens af funktioner i et rum med et endeligt mål konvergerer -næsten overalt til , så konvergerer den også i mål. Det modsatte er generelt ikke sandt.
![f_n](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2702450f0458a5e01a698e248af552a7fab2b50)
![\mu](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9fd47b2a39f7a7856952afec1f1db72c67af6161)
![f](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61)
- Hvis en sekvens af funktioner konvergerer i k , så konvergerer den også i mål. Det modsatte er generelt ikke sandt.
![f_n](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2702450f0458a5e01a698e248af552a7fab2b50)
![L^{p}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf2317aaca1ecee4b8ccf667bc1001059eae5850)
![f](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61)
- Hvis en sekvens af stokastiske variable konvergerer i sandsynlighed til , så konvergerer den til og i fordeling .
![X_n](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72a8564cedc659cf2f95ae68bc5de2f5207a3285)
![x](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab)
![x](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab)
- Hvis en sekvens af stokastiske variable konvergerer i sandsynlighed til , så for enhver kontinuert funktion er det sandt, at . Dette udsagn gælder især for enhver kontinuerlig funktion af flere variable
![X_n](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72a8564cedc659cf2f95ae68bc5de2f5207a3285)
![x](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab)
![f(x)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/202945cce41ecebb6f643f31d119c514bec7a074)
![{\displaystyle f(X_{n})\to f(X),n\to \infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10c9124fec3fe1008a840b5fa4f1cfab42bf0610)
![{\displaystyle X_{n}+Y_{n}\til X+Y,n\til \infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ec87ab28989050d6b91bbaa730fbf1eef4868e4)