Ramanujan summer

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 25. marts 2020; verifikation kræver 1 redigering .

Ramanujan- summer er trigonometriske summer afhængigt af to heltalsparametre og , af formen: $k$ $n$

c_{k}(n)=\sum _{h}\cos \left({\frac {2\pi nh}{k))\right)=\sum _{h}\exp \left( {\frac {2\pi nhi}{k}}\right),

hvor og . ${\displaystyle h<k,\;h\in \mathbb {Z} _{0))$ $(h,\;k)=1$

Den vigtigste egenskab ved Ramanujan-summer er deres multiplikativitet med hensyn til indekset , dvs. $k$

c_{kk'}(n)=c_{k}(n)c_{k'}(n),

hvis . $(k,\;k')=1$

Beløbene kan repræsenteres i form af Möbius-funktionen : $c_{k}(n)$ $\mu$

c_{k}(n)=\sum _{d\setminus (k,\;n)}\mu \left({\frac {k}{d))\right)d.

Ramanujan-summen er afgrænset for enten , eller . Så f.eks . $k$ $n$ $c_{k}(1)=1$

Anvendelse af Ramanujan-summer

Mange multiplikative funktioner af et naturligt argument kan udvides til serier i . Det omvendte er også sandt. $c_{k}(n)$

De vigtigste egenskaber ved summer giver dig mulighed for at beregne summen af formen:

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {c_{k}(qn)}{n^{s))}f(n),\quad \sum _{k=1 }^{\infty }{\frac {c_{k}(qn)}{k^{s))}f(k),

hvor er en multiplikativ funktion , er et heltal , er generelt kompleks. $f(n)$ $q$ $s$

I det enkleste tilfælde kan man få

\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {c_{k}(qn)}{k^{s}}}={\frac {\sigma _{1-s}( n)}{\zeta (s)))),

hvor er Riemann zeta-funktionen , er summen af th-potenserne af tallets divisorer . $\zeta (s)$ $\sigma _{k}(n)$ $k$ $n$

Sådanne summer er tæt forbundet med særlige serier af nogle additive problemer i talteori , såsom at repræsentere naturlige tal som et lige antal kvadrater. I [1] er der givet mange formler, der indeholder disse summer.

Litteratur

Ramanujan S. Transaktioner fra Cambridge Philosophical Society. - 1918. - v. 22.-s. 259-276.
Hardy GH Proceedings fra Cambridge Philosophical Society. — 1920/21. — v. 20.- s. 263-271.
Ramanujan S. Samlede papirer. - Cambridge, 1927. - s. 137-141.
Volkmann B. Journal für die reine und angewandte Mathematik. - 1974. - Bd 271. - S. 203-213.
Titchmarsh, E. K. Teori om Riemann zeta-funktionen. - Cherepovets: Mercury-Press, 2000. - 407 s. — ISBN 5114800906 . .
Levin V. I. Historisk og matematisk forskning . - bind 13. - M .: VINITI , 1960.