Strengt normeret plads

I matematik er strengt normerede rum en vigtig underklasse af normerede rum , som i struktur ligner Hilbert-rum . For sådanne rum er problemet med unikke tilnærmelser blevet løst, og denne egenskab er meget brugt i beregningsmatematik og matematisk fysik. Derudover vil et segment, der forbinder to punkter af en vilkårlig kugle i et strengt normeret rum, ligge helt inden for (med undtagelse af grænsepunkter) en åben bold afgrænset af denne kugle.

Et normeret rum X kaldes strengt normeret (eller strengt konveks ), hvis der for vilkårlig opfyldelse af betingelsen eksisterer sådan , at . $x,y\i X$ $\|x+y\|=\|x\|+\|y\|$ $\lambda \in \mathbb {R}$ $y=\lambda x$

Egenskaber for strengt normerede mellemrum

Lad X være et strengt normeret rum og L et lineært underrum af . Så for der er højst ét element sådan, at . $\forall x\in X$ $u\in L$ $\rho (x,L)=\|xu\|$

Elementet kaldes elementet med bedste tilnærmelse af x elementer fra L . Eksistensen af et element med bedste tilnærmelse sikres af følgende sætning. $u$

Sætning . Lad X være et normeret rum og L et endeligt-dimensionelt lineært underrum. Så for der eksisterer et element af bedste tilnærmelse . $\forall x\in E$ $u\in L$

Desuden er elementet i den bedste tilnærmelse generelt set ikke unikt i et normeret, men ikke strengt normeret rum.

Hver bold i et strengt normeret rum er et strengt konveks sæt . Det omvendte er også sandt, hvis hver bold i et normeret rum er et strengt konveks sæt, så er det givne rum strengt normeret.
Et normeret rum X er strengt normeret , hvis og kun hvis betingelsen altid indebærer, at . $\forall x,y\in X:\|x\|=1,\|y\|=1,x\neq y$ $\|x+y\|<2$

Eksempler på strengt normerede mellemrum

$\mathbb R^2$ med normen . Men normerne og på det, der svarer til normen , genererer ikke et strengt normeret rum (se figur). ${\displaystyle \|\mathbf {x} \|_{2}={\sqrt {x_{1}^{2}+x_{2}^{2))))$ $\|\mathbf {x} \|_{1}=|x_{1}|+|x_{2}|$ ${\displaystyle \|\mathbf {x} \|_{\infty }=\max\{|x_{1}|,|x_{2}|\))$ $\mathbb R^2$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{2))$
$L_{p}$ , hvor . Dette faktum følger af Youngs ulighed , som bruges i udledningen af Hölders og Minkowskis uligheder . $1<p<\infty$
Hilbert mellemrum

Litteratur

Trenogin V. A. Funktionel analyse. — M .: Nauka , 1980 . — 495 s.
Funktionsanalyse / redaktør Crane S. G. - 2., revideret og suppleret. — M .: Nauka , 1972 . — 544 s. — (Matematisk referencebibliotek).