Standard display

Standardkortet , også kendt som Chirikov - standardkortet og Chirikov - Taylor-kortet , er et ikke -lineært (volumenbevarende) kort for to kanoniske variable, (momentum og koordinater). Kortlægningen er kendt for sine kaotiske egenskaber, som først blev undersøgt [1] af Boris Chirikov i 1969 . $(p,\;x)$

Kortlægningen er givet ved følgende iterative ligninger:

{\begin{array}{lcr}{p}_{n+1}=p_{n}+K\sin x_{n},\\{x}_{n+1}=x_{n }+p_{n+1},\end{array}}

hvor parameteren styrer systemets tilfældighed. $K$

Rotator Model

Standardkortlægningen beskriver bevægelsen af en klassisk rotator - en fast stang, som ikke påvirkes af tyngdekraften, og som roterer uden friktion i et plan omkring en akse, der går gennem en af dens ender. Rotatoren oplever også påvirkninger af uendelig kort varighed, periodisk i tid (med en periode på én), forårsaget af en ekstern kraft. Variabler og svarer til rotationsvinklen for rotatoren og dens vinkelmomentum efter det -th anslag. Parameteren beskriver slagkraften. Rotatorens Hamilton-funktion kan skrives som: $x_{n}$ $p_n$ $n$ $K$

H={\frac {p^{2}}{2}}+K\delta _{Per}(t)\cos x,

hvor funktionen er en periodisk funktion med en periode på 1, falder den på én periode sammen med Dirac δ-funktionen . Fra ovenstående Hamilton-funktion opnås standardmappingen elementært. $\delta _{Per}(t)$

Egenskaber

For tilfældet er kortlægningen lineær, så der er kun periodiske og kvasi-periodiske baner. Når kortlægningen bliver ulineær, ødelægges invariante tori ifølge KAM-sætningen , og stokastiske lag bevæger sig, hvori dynamikken er kaotisk. Væksten fører til en stigning i områderne med kaos på faseplanet . På grund af funktionens periodicitet kan systemets dynamik betragtes på en cylinder [taking ] eller på en torus [taking ]. $K=0$ $K\neq 0$ $K$ $(x,\;p)$ $\sin(x)$ $x\;{\bmod {\;}}(2\pi )$ $(x,\;p)\;{\bmod {\;}}(2\pi )$

Stationære visningspunkter bestemmes ud fra tilstanden . På intervallet , sådanne punkter er og (på grund af symmetrien af faseplanet af systemet under inversion med hensyn til punktet , de stationære punkter og kan ignoreres). $(x_{n},\;p_{n})=(x_{n+1},\;p_{n+1})$ $x\in [0,\;2\pi ]$ $p\in [0,\;2\pi ]$ $(0,\;0)$ $(\pi ,\;0)$ $(x_{n},\;p_{n})$ $(\pi ,\;\pi )$ $(0,\;\pi )$ $(\pi ,\;\pi )$

Analysen af kortlægningens lineære stabilitet reduceres til analysen af ligningssystemet

\left[{\begin{array}{c}\delta x_{n+1}\\\delta p_{n+1}\end{array}}\right]={\hat {M}} \venstre[{\begin{array}{c}\delta x_{n}\\\delta p_{n}\end{array}}\right],

{\hat {M}}=\left[{\begin{array}{cc}1&1+K\cos x_{n}\\1&K\cos x_{n}\end{array}}\right] .

Ud fra betingelsen kan man bestemme egenværdierne af matricen for både stationære punkter [ og ]: $\det |{\hat {M}}-\lambda {\hat {I}}|=0$ ${\hat {M}}$ $(0,\;0)$ $(\pi ,\;0)$

\lambda _{\pm }^{(0,\;0)}={\frac {2+K\pm {\sqrt {K^{2}+4K))}{2)),

\lambda _{\pm }^{(\pi ,\;0)}={\frac {2-K\pm {\sqrt {K^{2}-4K}}}{2}}.

Da dette indebærer uligheden . Samtidig gælder uligheden for vilkårlig . Et stationært punkt er således et ustabilt hyperbolsk punkt. Det stationære punkt er et stabilt elliptisk punkt ved , fordi da . For det stationære punkt mister stabilitet og bliver hyperbolsk. $K>0$ $\lambda _{+}^{(0,\;0)}>1$ $\lambda _{-}^{(0,\;0)}<\lambda _{+}^{(0,\;0)}<1$ $K>0$ $(0,\;0)$ $(\pi ,\;0)$ $0\leqslant K<4$ $\mathrm {Re} \left|\lambda _{\pm }^{(\pi ,\;0)}\right|=1$ $K\geqslant 4$ $(\pi ,\;0)$

Under parameterens kritiske værdi, (fig. 1), opdeler de invariante tori systemets faserum på en sådan måde, at vinkelmomentet er afgrænset - med andre ord kan diffusion i det stokastiske lag ikke gå ud over de afgrænsede grænser af den invariante tori. Den "gyldne" invariante torus kollapser, når rotationstallet når værdien , som svarer til parameterens kritiske værdi (systemets faserum for er vist i fig. 2). På nuværende tidspunkt er det ikke strengt bevist , at numeriske beregninger dog viser, at det højst sandsynligt er tilfældet. Til dato er der kun strenge beviser for, at der ved , observeres et globalt kaosregime, når et stokastisk hav med individuelle øer af stabilitet dækker hele faserummet (se fig. 3). Der er ikke længere nogen invariante tori, der begrænser udviklingen i faserummet, og vi kan tale om banediffusion i et kaotisk hav. ${\displaystyle K<K_{c))$ $s$ $s$ $r_{g}=({\sqrt {5}}-1)/2$ $K_{g}=0{,}971\ 635\ldots$ $K=0{,}971\ 635$ ${\displaystyle K_{c}=K_{g))$ ${\displaystyle K>63/64=0{,}984\;375>K_{c))$

Kolmogorov-Sinai-entropien af standardkortlægningen er godt beskrevet af relationen for værdierne af kontrolparameteren [2] $h\approx \ln(K/2)$ $K>4$

Quantum Standard Map

Overgangen til kvantestandardkortlægningen sker ved at erstatte dynamiske variable med kvantemekaniske operatorer , der opfylder kommuteringsrelationen , hvor er Plancks effektive dimensionsløse konstant . $(p,\;x)$ $({\hat {p)),\;{\hat {x)))$ $[{\hat {p)],\;{\hat {x}}]=-i\hbar$ $\hbar$

Hovedegenskaben ved en kvantekortlægning sammenlignet med den klassiske er det såkaldte fænomen dynamisk lokalisering , som består i undertrykkelse af kaotisk diffusion på grund af kvanteeffekter [3] .

Ansøgning

Mange fysiske systemer og fænomener er reduceret til et standarddisplay. Dette er især

partikeldynamik i acceleratorer ;
kometdynamik i solsystemet;
mikrobølgeionisering af Rydberg-atomer og autoionisering af molekylære Rydberg-tilstande;
elektronisk magnetotransport i en resonant tunneldiode ;
indespærring af ladede partikler i magnetiske spejlfælder .

Frenkel-Kontorova-modellen

Frenkel-Kontorova-modellen bør udskilles separat som den første model, hvor standardkortlægningsligningerne blev skrevet analytisk. Denne model bruges til at beskrive dynamikken i dislokationer, monolag på krystaloverflader, ladningstæthedsbølger og tør friktion. Modellen i det stationære tilfælde specificerer forholdet mellem positionerne af interagerende partikler (for eksempel atomer) i feltet af et rumligt periodisk potentiale. Hamilton-funktionen af en endimensionel kæde af atomer, der interagerer med deres nærmeste naboer gennem et parabolsk interaktionspotentiale og placeret i feltet af et cosinuspotentiale, der beskriver en krystallinsk overflade, har følgende form:

H=\sum _{n}\left({\frac {P_{n}^{2}}{2}}+{\frac {(x_{n+1}-x_{n})^ {2}}{2}}-K\cos x_{n}\right),\quad P_{n}={\dot {x}}_{n}.

Her er atomets afvigelse fra dets ligevægtsposition. I det stationære tilfælde ( ) fører dette til følgende ligning $x_{n}$ $P_{n}\equiv 0$

x_{n+1}-2x_{n}+x_{n-1}=K\sin x_{n},

som ved substitution kan reduceres til standardmappingens sædvanlige notation. ${\displaystyle p_{n+1}=x_{n+1}-x_{n))$

Noter

↑ Chirikov BV Forskning vedrørende teorien om ikke-lineær resonans og stokasticitet // Preprint N 267, Institute of Nuclear Physics, Novosibirsk (1969), (Engl. Trans., CERN Trans. 71-40 (1971)).
↑ Chirikov BV En universel ustabilitet af mangedimensionelle oscillatorsystemer // Phys. Rep. 52:263 (1979).
↑ Casati G., Chirikov BV, Izrailev FM, Ford J. Lecture Notes in Physics - Berlin: Springer, 93: 334 (1979).

Litteratur

Standardvisning af Chirikov på www.scholarpedia.org (engelsk) .
Weisstein, Eric W. Standardkort (engelsk) på Wolfram MathWorld- webstedet .
Lichtenberg, A.J. og Lieberman, M. A. Regular and Chaotic Dynamics (neopr.) . — Springer, Berlin, 1992. .
Ott, Edward. Kaos i dynamiske systemer (neopr.) . - Cambridge University Press New, York, 2002. .
Sprott, Julien Clinton. Kaos og tidsserieanalyse . — Oxford University Press , 2003. .
Chirikov BV "Tidsafhængige kvantesystemer" i "Kaos og kvantemekanik" // Les Houches Lecture Series, Vol. 52, s. 443-545, red. M.-J. Giannoni, A. Voros, J. Zinn-Justin, Elsevier Sci. Publ., Amsterdam (1991).