Spin-orbit interaktion

Spin-orbit interaktion - i kvantefysik , interaktionen mellem en partikel i bevægelse og dens eget magnetiske moment på grund af partiklens spin . Det mest almindelige eksempel på en sådan vekselvirkning er vekselvirkningen af en elektron placeret i en af banerne i et atom med sit eget spin. En sådan interaktion fører især til fremkomsten af den såkaldte fine struktur af elektronens energispektrum og spaltningen af atomets spektroskopiske linjer.

Afledning af spin-kredsløbet Hamiltonian

Spin-orbit interaktion er en relativistisk effekt , derfor bør man, for at udlede den del af Hamiltonian , der svarer til denne interaktion, tage udgangspunkt i Dirac-ligningen med bidraget fra det eksterne elektromagnetiske felt taget i betragtning i Hamiltonian med vektorpotentialet A og skalarpotentialet φ, som du i Dirac-ligningen ifølge den lagrangske formalisme [1] skal erstatte

{\mathbf {p}}\rightarrow {\mathbf {p}}-(e/c){\mathbf {A}}

E\højrepil E+e\varphi

Som et resultat antager Dirac-ligningen formen:

i\hbar {{\frac {\partial \psi }{\partial t}}}=[c{\boldsymbol \alpha }({\mathbf p}-{{\frac {e}{c}}}{\ mathbf A})+\beta mc^{2}+e\varphi ]\psi

hvor $\beta ={\begin{pmatrix}{\mathbf 1}&0\\0&-{\mathbf 1}\\\end{pmatrix)),\quad {\boldsymbol \alpha }={\begin{pmatrix}0&{ \boldsymbol \sigma }\\{\boldsymbol \sigma }&0\\\end{pmatrix}}$

$\sigma _{i}$ er Pauli-matricerne

\sigma _{x}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\\\end{pmatrix)),\quad \sigma _{y}={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\\\ end{pmatrix)),\quad \sigma _{z}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\\\end{pmatrix)),\quad \ {\mathbf 1}={\begin{pmatrix }1&0\\0&1\\\end{pmatrix}}.

Det kan ses af denne Hamiltonian, at bølgefunktionen ψ skal være fire-komponent, og man ved, at to af dens komponenter svarer til løsninger med positiv energi, og to, med negativ energi. Rollen af løsninger med negativ energi er lille, når man overvejer spørgsmål relateret til magnetiske fænomener, da huller i spektret af negativ energi svarer til positroner , for dannelsen af hvilke en energi i størrelsesordenen , som er meget højere end energien forbundet med magnetiske fænomener, er nødvendige. I forbindelse med ovenstående er det praktisk at bruge den kanoniske Foldy- og Wouthuizen-transformation [2] , som opdeler Dirac-ligningen i et par to-komponent-ligninger. Den ene beskriver løsninger med negativ energi, og den anden med positiv energi, og har Hamiltonian af følgende form: $mc^{2}$

{\mathcal H}=\left[mc^{2}+{\frac {1}{2m}}\left(({\mathbf p}}-{\frac {e}{c}}{{\mathbf A}}\right)^{2}-{\frac {p^{4}}{8m^{3}c^{2}}}\right]+{e\varphi}-{\frac {e\ hbar }{2mc)){{\boldsymbol \sigma }}\cdot {{\mathbf H}}+\venstre\{-i({\frac {e\hbar ^{2}}{8m^{2}c ^{2)))){{\boldsymbol \sigma }}\cdot {\nabla }\ gange {{\mathbf E}}-{{\frac {e\hbar }{4m^{2}c^{2 }}}}{{\boldsymbol \sigma }}\cdot {{\mathbf E}}\ gange {{\mathbf p}}\right\}-{\frac {e\hbar ^{2}}{8m^ {2}c^{2}}}{\nabla }\cdot {{\mathbf E}}.

Udtrykkene indesluttet i krøllede parenteser karakteriserer spin-kredsløbsinteraktionen. Især hvis det elektriske felt er centralt symmetrisk, så har vi , og Hamiltonianeren af spin-kredsløbsinteraktionen har formen: $\nabla \times {\mathbf E}=0$

{\mathcal H}_{{so}}=-{{\frac {e\hbar }{4m^{2}c^{2}}}}{{\boldsymbol \sigma }}\cdot {{\mathbf E}}\ gange {{\mathbf p}}={{\frac {\hbar }{4m^{2}c^{2}}}}{{\frac {1}{r}}{\frac { \partial V}{\partial r}}}{{\boldsymbol \sigma }}\cdot {{\mathbf r}}\gange {{\mathbf p}}={{\frac {\hbar }{4m^{ 2}c^{2)))){{\frac {1}{r}}{\frac {\partial V}{\partial r}}}{{\boldsymbol \sigma }}\cdot {{\mathbf L}},

hvor er operatoren for elektronens vinkelmomentum. ${\mathbf L}={\mathbf r}\ gange {\mathbf p}$

Dette resultat er i overensstemmelse med det klassiske udtryk, der beskriver interaktionen mellem elektronspin og feltet på grund af elektronens orbitale bevægelse. Lad os forklare dette.

Det klassiske udtryk for spin-kredsløbs-interaktionsenergien for en atomelektron

Lad en elektron bevæge sig ensartet og retlinet med en hastighed v i feltet af en kerne placeret ved koordinatsystemets 1's begyndelse, og som danner et Coulomb-felt . I frame 2, forbundet med den bevægende elektron, vil observatøren se en bevægelig kerne, som skaber både et elektrisk og et magnetisk felt, med henholdsvis styrkerne E' og H' . Som det følger af relativitetsteorien er E' og H' relateret til E ved følgende relationer: $e{\mathbf E}=-{{\frac {{\mathbf r}}{r}}{\frac {\partial V}{\partial r}}}$

{\mathbf E}'={\mathbf E},\quad {\mathbf H}'\approx -{\frac {1}{c)){\mathbf v}\ gange {\mathbf E}=-{\ frac {1}{mc)){\mathbf p}\ gange {\mathbf E}.

Hvor ordrebetingelser kasseres $v^{2}/c^{2}.$

Så vil ligningen for ændringen i momentumets spinmomentum (ifølge Uhlenbeck-Goudsmit-hypotesen forbundet med det gyromagnetiske forhold med det magnetiske moment som ) i koordinatsystem 2 have formen: ${\mathbf S}={\frac {\hbar }{2}}{\boldsymbol \sigma }{}$ ${\boldsymbol \mu }$ ${\frac {|{\boldsymbol \mu }|}{|{\mathbf S}|}}={\frac {|e|}{mc}}{}$

{\frac {d{\mathbf S}}{dt}}=\mu \times {\mathbf H}'=-{\frac {e\hbar }{2m^{2}c^{2}}}{ \boldsymbol \sigma }\times \left[{\mathbf p}\times {\mathbf E}\right].

Denne ligning svarer til interaktionen mellem elektronspin og det elektromagnetiske felt, som beskrives af Hamiltonianeren af følgende form:

{\mathcal H}'_{{so}}={\frac {e\hbar }{2m^{2}c^{2}}}{\boldsymbol \sigma }\cdot {\mathbf p}\times { \mathbf E}.

Bemærk, at formen af Hamiltonian, op til en faktor på 1/2, falder sammen med formen af den spin-orbitale del af Hamiltonian opnået fra Dirac-ligningen ved hjælp af Foldy- og Wouthuysen-transformationerne. Fraværet af denne faktor skyldes det faktum, at ligningen for at ændre det magnetiske moment af en elektron kun vil være sand, hvis system 2 ikke roterer, ellers skulle denne ligning, på grund af Thomas præcession , se ud som

{\frac {d{\mathbf S}}{dt}}={\frac {e\hbar }{2mc}}{\boldsymbol \sigma }\ gange {\mathbf H}'-\omega _{{T} }\ gange {\mathbf S},

hvor er Tomos vinkelhastighed . $\omega _{{T}}$

En elektron i et atom accelereres af et screenet Coulomb-felt; derfor beskrives Tomos-vinkelhastigheden ved relationen

\omega _{{T))\ca. {\frac {1}{2m^{2}c^{2))}({\frac {1}{r)){\frac {\partial V}{\ delvis r))}[{\mathbf r}\ gange {\mathbf p}]

Hamiltonianeren for spin-kredsløbsinteraktionen vil således have formen:

{\mathcal H}_{{so}}={\frac {\hbar }{2m^{2}c^{2}}}{\frac {1}{r}}{\frac {dV}{dr )){\boldsymbol \sigma }\cdot {\mathbf r}\ gange {\mathbf p}-{\frac {\hbar }{4m^{2}c^{2))}{{\frac {1} {r}}{\frac {\partial V}{\partial r}}}{\boldsymbol \sigma }\cdot {\mathbf r}\time {\mathbf p}={\frac {\hbar }{4m^ {2}c^{2))}{{\frac {1}{r)){\frac {\partial V}{\partial r))}{\boldsymbol \sigma }\cdot {\mathbf r}\ gange {\mathbf p},

Hvilket er nøjagtigt det samme som det tidligere resultat.

Se også

Rashba effekt

Noter

↑ Landau L. D. , Lifshitz E. M. Felteori. - 7. udgave, revideret. — M .: Nauka , 1988. — 512 s. - (" Teoretisk fysik ", bind II). — ISBN 5-02-014420-7 .
↑ LLFoldy, SAWouthuysen. Om Dirac-teorien om spin 1/2-partikler og dens ikke-relativistiske grænse // Phys.Rev . : magasin. - 1950. - Bd. 78 . — S. 29-36 . - doi : 10.1103/PhysRev.78.29 .

Litteratur

Stepanov N. F. Kvantemekanik og kvantekemi. -M.:Mir, 2001. - S. 391-398. — 519 s. -5000 eksemplarer. -ISBN 5-03-003414-5.
White R. Kvanteteori om magnetisme / Pr. fra engelsk. — 2. udg., rettet. og. tilføje. — M.: Mir , 1985. — 304 s.
Björken JD , Drell S.D. Relativistisk kvanteteori. Bind 2. - IO NFMI, 2000. - 296 s.
Jackson J. Klassisk elektrodynamik. — M.: Mir , 1965. — 703 s.