Sammenhængende cirkel

En rørende cirkel , en krumningscirkel er en cirkel , der er den bedste tilnærmelse af en given kurve i nærheden af et givet punkt . På dette tidspunkt har kurven og den udpegede cirkel tangens , hvis rækkefølge er mindst 2. En krumningscirkel eksisterer ved hvert punkt af en to gange differentierbar kurve med en krumning , der ikke er nul ; i tilfælde af nul krumning, skal tangentlinjen , "en cirkel med uendelig radius," betragtes som en kontakt.

En rørende cirkel (eller linje) i et punkt på en kurve kan også defineres som grænsepositionen for en cirkel (eller linje), der passerer igennem og to punkter tæt på den, når man nærmer sig . $P$ $P$ $P_{1},\ P_{2}$ $P_{1},\ P_{2}$ $P$

Relaterede definitioner

Centrum af den sammenhængende cirkel kaldes krumningscentrum , og radius kaldes krumningsradius . Krumningsradius er den reciproke af krumningen af kurven på et givet punkt: $r^{-1}=k$

Lokuset for krumningscentrene for en kurve kaldes evolutionen .

Koordinater for krumningscentrum

Krumningscentret for en funktion i et punkt er i følgende punkt [1] [2] : $y=f(x)$ $(x_0, f(x_0))$

{\Bigg (}x_{0}-{\frac {f'(x_{0})(1+(f'(x_{0}))^{2})}{f''(x_ {0})}},f(x_{0})+{\frac {1+(f'(x_{0}))^{2}}{f''(x_{0}))){\ Bigg )}

Egenskaber

Centrum af en rørende cirkel ligger altid på kurvens hovednormal ; deraf følger, at denne normal altid er rettet mod kurvens konkavitet .
Inversionen af tangentcirklen er tangentcirklen for inversionen af kurven i det tilsvarende punkt.
Ved hjørnerne af kurven og kun ved dem er tangentens rækkefølge af tangentcirklen større end 2.
Tate-Kneser- sætningen siger, at hvis krumningen af en glat plan kurve er monoton, så er de sammenhængende cirkler af denne kurve indlejret i hinanden.

Historie

Begrebet en sammenhængende cirkel ( lat. circulum osculans ) blev introduceret af Leibniz . Den tilsvarende geometriske konstruktion er også indeholdt i bogen " Matematical Principles of Natural Philosophy " af Isaac Newton .

Variationer og generaliseringer

Rumkurvens kontaktkugle er kuglen centreret i punktet $\gamma$ ${\displaystyle \Sigma _{s))$ $p(s)=\gamma (s)+{\tfrac {1}{k(s)}}\cdot \nu (s)-{\tfrac {k'(s)}{k^{2 }(s)\cdot \varkappa (s)}}\cdot \beta (s)$

passerer igennem . Her og betegne kurvens krumning og vridning , , , er Frenet trihedron .

\gamma (s)

k(s)

\varkappa(s)

\tau

\nu

\beta

Hvis kurvens krumning og torsion ikke er nul, er den rørende kugle defineret og er den eneste kugle, som kurven har en kontaktgrad på mindst 3 med.

Noter

↑ Schneider V. E. et al. Et kort kursus i højere matematik. Proc. tilskud til universiteter. M., "Højere. skole" s. 870 . Hentet 26. maj 2020. Arkiveret fra originalen 15. januar 2022. (ubestemt)
↑ UpByte.Net . Hentet 26. maj 2020. Arkiveret fra originalen 5. juni 2020. (ubestemt)