Perfekt cuboid

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 30. august 2021; checks kræver 4 redigeringer .

En perfekt cuboid [1] er et rektangulært parallelepipedum , hvor alle syv grundlæggende størrelser (tre kanter, diagonalerne på dens flader og diagonalen af parallelepipedet selv) er naturlige tal. Med andre ord, en perfekt cuboid er en løsning på systemet af følgende diofantiske ligninger i naturlige tal:

{\begin{cases}a^{2}+b^{2}=d^{2},\\a^{2}+c^{2}=e^{2},\\b ^{2}+c^{2}=f^{2},\\a^{2}+b^{2}+c^{2}=g^{2}.\end{cases}}

Det er stadig uvist, om der findes et sådant parallelepiped. Computeropregning fandt ikke nogen perfekt kuboid med kanter op til 3·10 12 [2] [1] . Der er dog fundet flere "næsten perfekte" parallelepipeder, hvor alle mængder er heltal, bortset fra én:

$(672.153.104)$ en af diagonalerne i ansigtet er ikke-heltal.
$(18\,720,{\sqrt {211\,773\,121)),7800)$ , — en af kanterne er ikke-heltal. $(520.576,{\sqrt {618\,849)))$
Et stort antal Euler-parallellepipeder (med en ikke-heltals rumlig diagonal, se nedenfor ).
Skrå parallelepipeder, hvor alle lineære dimensioner er heltal. I dette tilfælde er én ikke-ret vinkel tilstrækkelig [3] [4] [5] .

Siden september 2017 er jagten på den perfekte cuboid blevet startet af det distribuerede computerprojekt yoyo@home [6]

Euler boks

Et rektangulært parallelepipedum, hvor kun fladernes kanter og diagonaler er heltal, kaldes Euler. Den mindste af Euler parallelepipederne - (240, 117, 44), med ansigtsdiagonalerne 267, 244 og 125, blev fundet af Paul Halke i 1719 [1] . Et par flere Euler-parallellepipeder:

(275, 252, 240)
(693, 480, 140),
(720, 132, 85),
(792, 231, 160).

Euler beskrev to familier af Euler-parallellepipeder (deraf navnet), der er givet ved formler svarende til dem for Pythagoras tripler . Disse familier inkluderer ikke alle Euler parallelepipeds. Det er kendt, at der blandt dem ikke kan være en perfekt cuboid [1] . Der er ingen fuldstændig beskrivelse af alle Euler parallelepipederne.

En af familierne opnået af Euler er givet ved formlerne for : $n>3$

a=n^{6}-15n^{4}+15n^{2}-1,b=6n^{5}-20n^{3}+6n,c=8n^{5}-8n

Følgende krav er kendt for Euler parallelepipedum (og dermed for den perfekte cuboid) [7] :

Den ene kant er delelig med 4, den anden er delelig med 16, den tredje er ulige (medmindre den selvfølgelig er primitiv - altså gcd ( a ,  b ,  c ) = 1).
En kant er delelig med 3 og en anden med 9.
Den ene kant er delelig med 5.
Den ene kant er delelig med 11.

Der er en "ikke-formel" måde at opnå værdierne på siderne af den "afledte" Euler-boks baseret på værdierne af den "overordnede" Euler-boks (8). For at gøre dette vælges tre trekanter med heltalværdier af siderne i figuren. Yderligere - fra de opnåede trekanter ved at vælge værdien af deres cotangens - bestemmes Pythagoras tripler. Disse tripler er indtastet i tabellen. Modtagelse af et krydsarrangement i tabellen med to værdier (ud af tre) af Pythagoras tripler (ved hjælp af en bestemt algoritme for matematiske operationer), beregnes værdierne af de tre sider af det "afledte" Euler-parallellepiped.

Se også

Noter

↑ 1 2 3 4 Ian Stewart . De største matematiske problemer. - M . : Alpina faglitteratur, 2016. - S. 407. - 460 s. — ISBN 978-5-91671-507-1 .
↑ Bill Butler, "Integer Brick"-problemet arkiveret 30. august 2007 på Wayback Machine
↑ JF Sawyer, CA Reiter, Perfekte parallelepipeds findes Arkiveret 6. juli 2015 på Wayback Machine , Math. Comp. 80 (2011), nr. 274, s. 1037-1040.
↑ BD Sokolowsky, AG VanHooft, RM Volkert, CA Reiter, En uendelig familie af perfekte parallelepipeder Arkiveret 6. juli 2015 på Wayback Machine , Math. Comp. 83 (2014), nr. 289, s. 2441-2454.
↑ W. Wyss, On Perfect Cuboids , arXiv:1506.02215v2 Arkiveret 23. januar 2018 på Wayback Machine [math.NT] 27. juni 2015.
↑ yoyo@home . Hentet 22. januar 2018. Arkiveret fra originalen 22. januar 2018. (ubestemt)
↑ Primitive Euler Bricks Arkiveret 24. februar 2020 på Wayback Machine .