Perfekt sæt

Et perfekt sæt er et lukket sæt , der ikke har isolerede punkter , det vil sige, det falder sammen med sættet af alle dets grænsepunkter.

Eksempler

Det klassiske eksempel på et intetsteds tæt, perfekt sæt er Cantor-sættet .

Egenskaber

Ethvert ikke-tomt perfekt sæt af euklidisk rum har kontinuummets kardinalitet (en generalisering af Cantors sætning om, at hvert perfekt sæt på et segment af den reelle akse har kontinuummets kardinalitet) [1] .
Sættet af kondenseringspunkter for ethvert sæt er perfekt.

Cantor-Bendixon-sætningen

Cantor-Bendixon-sætningen er et udsagn om strukturen af ethvert utalligt lukket sæt . Denne sætning er generaliseret til tilfældet med delmængder af et metrisk rum med en tællig base (se Lindelöfs sætning )

Ordlyd

Ethvert utalligt lukket sæt er summen af et perfekt sæt af dets kondensationspunkter og ikke mere end et tælleligt sæt af andre punkter. $M$

Bevis

Beviset er baseret på tre teoremer. Det følger af sætning 2 og 3. For at bevise det er det tilstrækkeligt at bemærke, at sættet af kondensationspunkter på grund af lukketheden af . $N\subset M$ $M$

Sætning 1

For at et punkt skal være et kondenseringspunkt for sættet , er det nødvendigt og tilstrækkeligt, at ethvert rationelt naboskab af punktet indeholder et utalligt sæt af punkter fra . $-en$ $M$ $-en$ $M$

Forklaringer

Et rationelt naboskab til et punkt er ethvert interval med rationelle ender, der indeholder dette punkt, som muligvis ikke er midten af intervallet. $-en$

Bevis Nødvendighed

Lad være et kondenseringspunkt og være et vilkårligt rationelt naboskab til punktet . Lad os vælge . Så falder området til punktet helt ind i . Da er et kondenseringspunkt, vil , og dermed og , indeholde et utalligt sæt punkter fra . $-en$ $(r',r'')$ $-en$ $\delta <\min(|r'-a|,|r''-a|)$ $(a-\delta ,a+\delta )$ $-en$ $(r',r'')$ $-en$ $(a-\delta ,a+\delta )$ $(r',r'')$ $M$

Tilstrækkelighed

Lad enhver rationel naboskab af et punkt indeholde et utalligt sæt punkter fra . Overvej et vilkårligt naboskab af punktet og lad og være to rationelle tal placeret henholdsvis mellem og og mellem og . Så falder et helt rationelt kvarter ind i kvarteret , og sammen med det et utalligt sæt point fra . Men det betyder, at der er et kondenspunkt. $-en$ $M$ $(a-\delta ,a+\delta )$ $-en$ $r'$ $r''$ $a-\delta$ $-en$ $-en$ $a+\delta$ $(a-\delta ,a+\delta )$ $(r',r'')$ $M$ $-en$

Sætning 2 Ordlyd

Hvert utalligt sæt indeholder et utalligt sæt af dets kondensationspunkter . $M$

Bevis

Lad være et sæt punkter fra , der ikke er kondenseringspunkter af sættet . Hvis , så er der intet at bevise. Lad og . Da det ikke er et kondenseringspunkt, er der et rationelt naboskab af punktet , der højst indeholder et tælleligt sæt punkter fra , herunder punkter fra . Således kan hele sættet være indesluttet i et eller andet system af rationelle intervaller, som hver især ikke indeholder mere end et tælleligt antal point fra . Da der er et tælleligt sæt af alle rationelle intervaller, følger det, at det også højst kan tælles. Derefter - sættet af kondenseringspunkter er utallige. $R$ $M$ $M$ $R=\varnothing$ $R\neq \varnothing$ $x \i R$ $x$ $(r'_{x},r''_{x})$ $x$ $M$ $R$ $R$ $R$ $R$ $M\backslash R$ $M$

Sætning 3 Ordlyd

Sættet af kondenseringspunkter i et utalligt sæt er perfekt. $N$ $M$

Bevis

Lad os først vise, at den er lukket. Lad og vær et vilkårligt rationelt interval, der indeholder punktet . For et tilstrækkeligt lille interval vil intervallet falde helt indenfor . Da det er et grænsepunkt for et sæt kondenseringspunkter, indeholder det mindst ét kondenseringspunkt og sammen med det et område af punktet . Men så indeholder dette kvarter, og dermed også , et utalligt sæt punkter fra , og siden er et vilkårligt rationelt naboskab til punktet , altså kondensationspunktet, det vil sige . Lad os vise, at den ikke indeholder isolerede punkter. Lad være et vilkårligt punkt fra og være et vilkårligt naboskab af punktet . Så indeholder dette kvarter et utalligt sæt punkter fra . Overvej et utalligt sæt . Ved sætning 1 indeholder den et utalligt sæt af dets kondensationspunkter. Hvert kondenseringspunkt for er samtidig et kondenseringspunkt for . Derfor kommer et utalligt sæt punkter fra , og derfor ikke er et isoleret punkt i dette sæt, ind. $N$ $x\in N'$ $(r'_{x},r''_{x})$ $x$ $\delta$ $(x-\delta ,x+\delta )$ $(r'_{x},r''_{x})$ $x$ $(x-\delta ,x+\delta )$ $x_{{0}}$ $x_{{0}}$ $(r'_{x},r''_{x})$ $M$ $(r'_{x},r''_{x})$ $x$ $x$ $x\in N$ $N$ $x_{{0}}$ $N$ $(x_{0}-\eta ,x_{0}+\eta )$ $x_{{0}}$ $M$ $M_{1}=M\cap (x_{0}-\eta ,x_{0}+\eta )$ $M_{{1}}$ $M$ $(x_{0}-\eta ,x_{0}+\eta )$ $N$ $x_{{0}}$

Noter

↑ Shilov G.E. Matematisk analyse. Særligt kursus. - M. : Nauka, 1961. - S. 65. - 436 s.

Litteratur

Sobolev VI Forelæsninger om yderligere kapitler af matematisk analyse. - M .: Nauka, 1968. - S. 79.