Malmquist forskydning

Malmquist shift ( Malmquist shift ) er en effekt i observationsastronomi, der resulterer i præferencedetektering af objekter med høj lysstyrke. Denne effekt blev først beskrevet i 1922 af den svenske astronom Gunnar Malmqvist (1893-1982), som studerede dette fænomen i detaljer i 1925. [1] [2] I statistikker er denne skævhed en systematisk fejl og påvirker resultaterne af undersøgelser i prøver begrænset af tilsyneladende størrelse , som ikke inkluderer stjerner, hvis tilsyneladende størrelse overstiger en vis værdi. Da observerede stjerner og galakser ser svagere ud i større afstande fra observatøren, vil den tilsyneladende størrelse stige med afstanden, indtil den overskrider grænseværdien for denne undersøgelse. Objekter med højere lysstyrke kan observeres fra en større afstand, hvilket kan skabe et falsk forhold, der øger lysstyrken med afstanden. Metoden til korrekt at tage højde for en sådan effekt krævede særlig opmærksomhed fra videnskabsmænd.

Forskydningsteori

Tilsyneladende størrelse og glans

Det er kendt, at når kilden bevæger sig væk fra observatøren, ser kilden svagere og svagere ud. Dæmpningen sker i henhold til den omvendte kvadratlov , som siger, at belysningen fra kilden falder med 1/ d 2 , hvor d er lig med afstanden fra lyskilden til observatøren.

Stjernelys forplanter sig også efter den omvendte kvadratlov. Lysstråler forplanter sig i en kugle centreret om en stjerne. Som tiden går, vokser kuglen sig større, efterhånden som lyset bevæger sig væk fra stjernen. Kuglen øges i størrelse, men antallet af stråler forbliver det samme. Derfor falder mængden af ​​lys, der passerer gennem et enkelt område på en kugle, med afstanden og dermed med tiden. Når man observerer en stjerne, bliver kun de stråler, der falder inden for et bestemt område, registreret af observatøren. Dette faktum viser, hvorfor fjernere stjerner ser svagere ud.

Overvej to stjerner med samme lysstyrke i forskellige afstande. En tættere stjerne vil se lysere ud. Den tilsyneladende stjernestørrelse afhænger således ikke kun af kildens lysstyrke, men også af afstanden til den.

Hvis alle stjerner havde den samme lysstyrke, så ville afstanden fra Jorden til stjernen være bestemt ganske enkelt. Stjerner har dog væsentligt forskellige lysstyrker, derfor er det svært at skelne en fjern lys stjerne fra en svag tæt på. Derfor er det en vanskelig opgave at bestemme afstanden til astronomiske objekter.

Årsag til Malmquists fjernelse

Normalt, når vi observerer et område på himlen, kan vi kun se stjerner op til en vis størrelsesorden. Som diskuteret ovenfor vil vi se fjerne stjerner med høj lysstyrke og nærliggende stjerner, både lyse og svage. Det vil således se ud til, at der op til en vis afstand er meget flere stjerner med høj lysstyrke end svage. Faktisk er der mange flere svage stjerner, [3] men de falder ikke ind i den observerede prøve, fordi de er for svage. Skiftet mod stjerner med større lysstyrke, når man observerer et udsnit af himlen, påvirker bestemmelsen af ​​den gennemsnitlige værdi af den absolutte stjernestørrelse og den gennemsnitlige afstand til en gruppe stjerner. Da stjerner med høj lysstyrke er synlige på store afstande, kan det se ud til, at prøven i betragtning er længere væk i gennemsnit, og hver stjerne vil derfor blive anset for at have en højere lysstyrke. Denne effekt kaldes Malmquist bias. [en]

Når du studerer en prøve af kilder med høj lysstyrke, stjerner eller galakser, er det vigtigt at tage højde for skiftet mod lysere objekter. Der er flere metoder til at tage højde for indflydelsen fra Malmquist-bias.

Påvirkningen fra Malmquist-skiftet er ikke begrænset til genstandes lysstyrker. Andre observerbare mængder er genstand for samme skift, og deres evne til at opdage falder med afstanden. [fire]

Korrektionsmetoder

Ideelt set bør denne skævhed i undersøgelser undgås. Størrelsesbegrænsede undersøgelser er dog de nemmeste at implementere, mens andre metoder er mere komplekse og kræver, at der tages højde for andre typer usikkerheder, hvilket kan være vanskeligt for objekter, der observeres for første gang. En række forskellige metoder er blevet foreslået for at eliminere bias. Nedenfor er metoderne i rækkefølge efter stigende kompleksitet og øget nøjagtighed og effektivitet.

Prøveudtagningsgrænse

Den enkleste metode involverer kun at bruge den upartiske del af datasættet. [5] Afhængigt af den begrænsende størrelse kan der være et interval af afstandsværdier, hvor alle objekter med forskellige absolutte størrelser vil være synlige. Så vil et sådant dataundersæt være fri for Malmquist-bias. At opnå en sådan delmængde kan gøres som følger: grænseværdien for afstanden er den, hvor de svageste objekter vil have den begrænsende størrelse. Desværre involverer denne metode udelukkelse af en stor mængde data og begrænser den mulige analyse til kun data om nærliggende objekter. Denne metode forudsætter også nøjagtig viden om afstandene til objekter.

Den traditionelle version af rettelsen

Den første løsning foreslået af Malmquist i 1922 var at korrigere den gennemsnitlige absolutte størrelse ( ) af prøven for at opnå en upartisk værdi ( M 0 ). [1] Rettelsen er

For at beregne denne korrektion brugte Malmquist og andre videnskabsmænd en række antagelser. [6]

  1. Der er ingen interstellar udryddelse, eller stoffet mellem stjerner (gas eller støv) påvirker ikke lysets passage. Denne antagelse indebærer, at udbredelsen af ​​lys kun adlyder den omvendte kvadratlov.
  2. Lysstyrkefunktionen (Φ) er uafhængig af afstanden ( r ). Denne antagelse betyder, at universet er det samme i enhver del, og stjernerne er fordelt i ethvert område på samme måde som i nærheden af ​​Solen.
  3. For et givet område på himmelkuglen afhænger stjernernes tæthed ( ρ ) kun af afstanden, hvilket betyder det samme antal stjerner i gennemsnit i forskellige retninger.
  4. Prøven betragtes som komplet, det vil sige, at den tager højde for alle stjerner op til den begrænsende tilsyneladende stjernestørrelse ( m lim ).
  5. Lysstyrkefunktionen kan tilnærmes ved en Gauss centreret ved den gennemsnitlige absolutte størrelse M 0 .
  6. Stjernerne tilhører den samme spektralklasse , hvis gennemsnitlige absolutte stjernestørrelse er lig M 0 , variansen er lig σ .

Denne situation er ideel, og den sidste antagelse er forbundet med de største vanskeligheder, men giver mulighed for en korrektion af en simpel form. Når vi integrerer lysstyrkefunktionen over alle afstande og størrelser lysere end m lim , har vi

[1] [6]

hvor A(m lim ) er lig med det samlede antal stjerner, der er lysere end m lim . Hvis den rumlige fordeling af stjerner kan betragtes som ensartet, så forenkles dette forhold og reduceres til formen

[1] [6] Korrektion inden for observationer i flere bånd

Den traditionelle metode indebærer, at målinger af den tilsyneladende størrelse og målinger, hvorfra afstande bestemmes, udføres i samme bølgelængdeområde (f.eks. i H-båndet, bølgelængdeintervallet i det infrarøde område, omkring 1300-2000 nm ), hvilket fører til en korrektion i form cσ 2 , hvor c er en konstant. Desværre er sådanne tilfælde sjældne, da afstanden til objekter normalt bestemmes ud fra observationer i andre bølgelængdeområder. For eksempel vælges galakser ofte fra kataloger over undersøgelser i B-båndet, de mest komplette undersøgelser, og så bruges de tilsyneladende stjernestørrelser i dette bånd, men afstandene bestemmes ud fra Tully-Fisher-afhængigheden og i H-båndet. I dette tilfælde erstattes variansen af ​​en kovarians mellem afstandsspredning og spredningsparameter for galakser (for eksempel tilsyneladende størrelse). [7]

Vejning efter volumen

En anden simpel korrektionsmetode er at bruge et vægtet gennemsnit til at tage højde for det relative bidrag fra hver værdi. Da objekter med forskellige absolutte størrelser kan ses på forskellige afstande, kan hvert punkts bidrag til den gennemsnitlige absolutte størrelse eller lysstyrkefunktion betragtes med en vægt på 1/V max , hvor V max viser det maksimale volumen, hvori objekter kan være observeret. Lysere objekter (med lavere absolutte størrelser) vil have et større volumen, som de kan detekteres i, og vil derfor have mindre vægt, selvom en sådan gruppe generelt vil være repræsenteret af et større antal objekter. [8] Det maksimale volumen kan repræsenteres som rumfanget af en kugle, hvis radius bestemmes ud fra afstandsmodulet af objektets absolutte størrelse og den begrænsende tilsyneladende størrelse.

Der er to hovedvanskeligheder ved at bestemme Vmax . For det første dækker undersøgelsen muligvis ikke hele himlen, det vil sige, at området af den del af himlen, hvor de undersøgte objekter observeres, skal tages i betragtning. [8] I en fuld undersøgelse observeres objekter på hele himmelsfæren, men i praksis er fuldstændige undersøgelser sjældne på grund af tidsbegrænsninger på observationer, såvel som geografiske begrænsninger (en del af himlen er muligvis ikke synlig fra en bestemt breddegrad ). I stedet foretages observationer af et lille område af himlen, så antages en vis fordeling af objekter (ensartet eller fortykkelse mod galaksens plan), hvilket gør det muligt at ekstrapolere observationerne til hele himmelsfæren. Det er også muligt blot at skalere antallet af observerede objekter efter arealet af den observerede del af himlen. Virkningen af ​​ufuldstændige anmeldelser bør tages i betragtning, når man sammenligner forskellige anmeldelser.

For det andet, når man observerer fjerne objekter, bør man tage hensyn til den kosmologiske rødforskydning og universets udvidelse . I dette tilfælde er det nødvendigt at overveje bevægelsesafstanden , som er konstant mellem to objekter, forudsat at de kun bevæger sig i forhold til hinanden på grund af universets udvidelse. Hvis vi forsømmer udvidelsen af ​​universet, så kan den medfølgende afstand betragtes som afstanden mellem objekter. Den tilhørende afstand kan bruges til at beregne volumen. Hvis rødforskydning er lig med z , D A og VA er lig med afstand og volumen (uanset hvad de er målt i øjeblikket), er D C og V C lig med afstand og volumen,

[9]

En alvorlig ulempe ved volumenvægtning er dens høje følsomhed over for strukturer i stor skala, såsom stjernehobe eller hulrum . [10] Tilstedeværelsen af ​​et område med en meget høj eller meget lav tæthed af objekter vil introducere et signifikant skift i den gennemsnitlige absolutte størrelse eller lysstyrkefunktion. Tilstedeværelsen af ​​inhomogeniteter i stor skala har den største indflydelse på beregningen af ​​svage genstande, da de mængder, hvori disse genstande kan observeres, er små for dem.

Mere komplekse korrektionsmetoder

Der findes en række mere tidskrævende og korrekte metoder til at tage højde for Malmquist-bias. Nogle af metoderne er listet nedenfor med en kort beskrivelse; mere detaljerede oplysninger kan fås fra links til artiklerne.

Maksimal sandsynlighedskorrektion

Denne metode er baseret på fordelingsfunktionerne for objekter, såsom stjerner eller galakser, der viser det forventede antal objekter inden for et bestemt område af parametre. Hver af parametrene for de objekter, der overvejes, såsom tilsyneladende stjernestørrelse, afstand, har sin egen fordelingsfunktion, ifølge hvilken der i nærvær af en tilfældig talgenerator kan oprettes en teoretisk prøve af objekter. Fordelingsfunktionen af ​​afstande antages at være kendt, fordelingsfunktionen af ​​absolutte størrelser kan variere. Det er muligt at sammenligne forskellige absolutte størrelsesfordelingsfunktioner med den observerede fordeling af objekter og finde en sådan funktion, for hvilken den observerede fordeling af objekter vil være den mest sandsynlige. Hvis der er visse begrænsninger på muligheden for at opdage objekter, kan du få en rigtig upartisk distributionsfunktion. Denne metode kræver store mængder af beregninger. [10] [11]

Schechters metode

Paul Schechter , mens han studerede galakser, opdagede forholdet mellem logaritmen af ​​bredden af ​​spektrallinjen og den tilsyneladende stjernestørrelse. [12] Ideelt set bør spektrallinjerne være uendeligt smalle toppe, men bevægelsen af ​​et objekt, såsom rotation eller skift langs sigtelinjen i forhold til observatøren, fører til udvidelse og forskydning af linjerne. Forholdet blev fundet på grundlag af Tully-Fisher-forholdet, som relaterer afstanden til galaksen, den tilsyneladende størrelse og hastighed (den maksimale værdi på rotationskurven ). På grund af Doppler-udvidelse kan logaritmen af ​​bredden af ​​den observerede spektrallinje relateres til bredden af ​​hastighedsfordelingen. Hvis vi anser afstandene for at være velkendte, så viser den absolutte størrelse og bredden af ​​linjerne sig at være tæt forbundet. [12] For eksempel, når man observerer neutral brint i 21 cm-linjen , er forholdet repræsenteret som en lineær lov

hvor P er logaritmen af ​​den spektrale linjebredde, og α og β er konstante.

Grunden til, at dette estimat er nyttigt, er, at den inverse regressionslinje ikke er underlagt Malmquist-bias, selektionseffekten påvirker kun størrelsen. Den forventede værdi af P givet M vil være upartisk, hvilket vil give et upartisk estimat af logaritmen af ​​afstanden. [13]

Mere avancerede matematiske metoder

Forbedrede versioner af korrektionsmetoder er baseret på yderligere begrænsende antagelser. Ofte fører sådanne metoder til komplekse matematiske udtryk, der kan anvendes til specifikke tilfælde. For eksempel udledte Luri et al. en relation for forskydningen af ​​stjerner i en galakse, der relaterer tilsyneladende størrelse, absolut størrelse og højde af en stjerne over galaksens plan. Anvendelsen af ​​forholdet giver mere korrekte skøn, men kræver visse antagelser om stjerners rumlige fordeling. [fjorten]

Ansøgning

Ved anvendelse af størrelsesbegrænset prøvetagning skal en af ​​ovenstående metoder anvendes for at korrigere for Malmquist-bias. For eksempel, når man udleder en lysstyrkefunktion, kalibrerer Tully-Fisher-forholdet eller bestemmer Hubble-konstanten , kan Malmquist-bias i høj grad påvirke resultatet.

Lysstyrkefunktionen viser antallet af stjerner eller galakser i et enhedsinterval efter lysstyrke eller absolut størrelse. Når du bruger en prøve med en begrænsning på den tilsyneladende størrelse, undervurderes antallet af svage objekter, hvilket flytter toppen af ​​lysstyrkefunktionen til området af objekter med en højere lysstyrke og ændrer funktionens form. Typisk bruges en volumenvægtet metode til at korrigere for Malmquist bias, hvorefter prøven anses for afstandsbegrænset. [15] Figuren til højre viser to lysstyrkefunktioner for en prøve af stjerner begrænset af tilsyneladende størrelse. Den stiplede kurve viser lysstyrkefunktionen uden Malmquist bias-korrektion, den faste blå kurve viser den korrigerede lysstyrkefunktion. Malmquist-bias påvirker kurvens form betydeligt.

Tully-Fisher-afhængigheden, som relaterer galaksernes lysstyrke til rotationshastigheden, er også påvirket af Malmquist-bias. Hvis en nærliggende hob af galakser bruges til at kalibrere forholdet, og derefter forholdet anvendes til en mere fjern, så vil afstanden til den fjerne hob systematisk blive forskudt ned. [13]

Alternativer

For at undgå Malmquist-bias er der udtænkt flere alternative metoder, hvoraf nogle vil blive præsenteret nedenfor.

Afstandsbegrænset prøveudtagning

Når man betragter en prøve af objekter op til en vis afstand, vil Malmquist-bias være fraværende. [5] I en sådan prøve vil det betragtede volumen omfatte alle typer stjerner, fordelingsfunktioner og lysstyrkefunktioner vil ikke blive forvrænget. I praksis er denne metode meget vanskelig at implementere, da bestemmelse af afstande til objekter er forbundet med en række vanskeligheder. Selv i tilfælde af bestemmelse af afstanden ved hjælp af standard stearinlys , har de opnåede estimater usikkerheder. Oftest er fuldstændig prøvetagning af objekter op til en vis afstand kun mulig på relativt små afstande.

Ensartede og uensartede Malmquist-rettelser

Denne metode forsøger igen at korrigere forskydningen, men på en anden måde. I stedet for at fastsætte absolutte størrelser, betragter metoden afstande til objekter som tilfældige variable og omskalerer derefter disse afstande. [13] I stedet for at tilskrive stjernerne i prøven den korrekte fordeling af absolutte størrelser, udføres metoden med at flytte objekter på en sådan måde, at fordelingen af ​​afstande viser sig at være korrekt. Ideelt set bør resultaterne matche dem opnået med størrelseskorrektionsmetoder. I både de homogene og ikke-homogene metoder er bias defineret i form af den forudgående fordeling af afstande, afstandsestimatet og sandsynlighedsfunktionen . I det homogene tilfælde ganges de indledende afstande til sidst med den samme faktor. En sådan metode giver et unøjagtigt resultat i tilstedeværelsen af ​​storskalastrukturer og observationelle selektionseffekter. I det inhomogene tilfælde forsøger man at tage højde for sådanne effekter, når der skabes en mere kompleks forudgående fordeling, der inkluderer inhomogeniteter i den observerede fordeling. I begge tilfælde antages en Gauss- fordelingsfunktion med konstant varians og middelværdi lig med den sande middellogaritme af afstanden. Grænserne for denne metodes anvendelighed diskuteres, da der er en række usikkerheder i den indledende måling af afstande til objekter. [13]

Historiske alternative definitioner

Udtrykket Malmquist bias er ikke altid blevet anvendt til den ovenfor beskrevne effekt. Tilbage i 2000 blev en række statistiske effekter kaldt Malmquist bias i litteraturen. [16]

Noter

  1. ↑ 1 2 3 4 5 Malmquist, Gunnar. Om nogle relationer i stjernestatistikker // Arkiv för Matematik, Astronomi och Fysik. - 1922. - T. 16 , nr. 23 . - S. 1-52 . - .
  2. ↑ Malmquist, Gunnar. Et bidrag til problemet med at bestemme stjernernes fordeling i rummet  //  Arkiv för Matematik, Astronomi och Fysik : journal. - 1925. - Bd. 19A , nr. 6 . - S. 1-12 . - .
  3. ↑ Salpeter, Edwin. Lysstyrkefunktionen og stjernernes udvikling  //  The Astrophysical Journal  : journal. - IOP Publishing , 1955. - Vol. 121 . — S. 161 . - doi : 10.1086/145971 . - .
  4. ↑ Wall, JV; Jenkins, CR Praktisk statistik for astronomer. — 2. - Cambridge, UK: Cambridge University Press , 2012. - S. 189. - (Cambridge Observing Handbooks for Research Astronomers). - ISBN 978-0-521-73249-9 .
  5. ↑ 1 2 Sandage, Allan (november 2000), Malmquist Bias and Completeness Limits , i Murdin, P., The Encyclopedia of Astronomy and Astrophysics , Bristol: Institute of Physics Publishing, artikel 1940, ISBN 0-333-75088-8 10.1888/0333750888/1940 . 
  6. ↑ 1 2 3 Butkevich, AG; Berdyugin, A.V.; Terrikorpi, P. Statistiske skævheder i stjernernes astronomi. the Malmquist bias revisited  (engelsk)  // MNRAS  : journal. - 2005. - September ( bind 362 , nr. 1 ). - S. 321-330 . - doi : 10.1111/j.1365-2966.2005.09306.x . - .
  7. ↑ Gould, Andrew. Udvælgelse, kovarians og Malmquist Bias  //  The Astrophysical Journal  : journal. - IOP Publishing , 1993. - August ( vol. 412 ). - S. 55-58 . - doi : 10.1086/186939 . - .
  8. ↑ 1 2 Blanton, Michael; Schlegel, DJ; Strauss, M.A.; Brinkmann, J.; Finkbeiner, D.; Fukugita, M.; Gunn, JE; Hogg, DW; Ivezic, Z.; Knapp, G.R.; Lupton, RH; Munn, JA; Schneider, D.P.; Tegmark, M.; Zehavi, I. New York University Value-Added Galaxy Catalog: A Galaxy Catalog Based on New Public Surveys  //  The Astronomical Journal  : journal. - IOP Publishing , 2005. - Juni ( vol. 129 , nr. 6 ). - P. 2562-2578 . - doi : 10.1086/429803 . - . - arXiv : astro-ph/0410166 .
  9. ↑ Hogg, David W. (dec. 2000), Distance measurements in cosmology, arΧiv : astro-ph/9905116 . 
  10. ↑ 1 2 Blanton, Michael R.; Lupton, RH; Schlegel, DJ; Strauss, M.A.; Brinkmann, J.; Fukugita, M.; Loveday, J. Egenskaberne og lysstyrkefunktionen af ​​galakser med ekstremt lav lysstyrke  //  The Astrophysical Journal  : tidsskrift. - IOP Publishing , 2005. - September ( vol. 631 , nr. 1 ). - S. 208-230 . - doi : 10.1086/431416 . - . — arXiv : astro-ph/0410164 .
  11. ↑ Efstathiou, George; Frank, C.S.; Hvid, SDM; Davis, M. Gravitationel klyngedannelse fra skalafri begyndelsesbetingelser  // MNRAS  :  tidsskrift. - 1988. - December ( bind 235 ). - s. 715-748 . - doi : 10.1093/mnras/235.3.715 . - .
  12. ↑ 1 2 Schechter, PL Masse-til-lysforhold for elliptiske galakser  // Astronomical Journal  :  journal. - 1980. - Juli ( bind 85 ). - S. 801-811 . - doi : 10.1086/112742 . - .
  13. ↑ 1 2 3 4 Hendry, MA; Simmons, JFL & Newsam, AM (okt 1993), What Do We Mean by 'Malmquist Bias'?, arΧiv : astro-ph/9310028 . 
  14. ↑ Luri, X.; Mennessier, MO; Torra, J.; Figueras, F. En ny tilgang til Malmquist-bias  // Astronomy and Astrophysics  : journal  . - 1993. - Januar ( bind 267 ). - S. 305-307 . - .
  15. ↑ Binney, James; Merrifield, Michael. Galaktisk astronomi. - Princeton University Press , 1998. - S. 111-115.
  16. ↑ Murdin, Paul. Malmquist, Gunnar (1893-1982) // Encyclopedia of Astronomy and Astrophysics  (engelsk) . - 2000. - ISBN 0-333-75088-8 . - doi : 10.1888/0333750888/3837 .