Symmetrisk forskel

Den symmetriske forskel på to mængder er en mængdeteoretisk operation, hvis resultat er et nyt sæt, der inkluderer alle elementer i de originale mængder, der ikke samtidig hører til begge originalmængder. Med andre ord, hvis der er to sæt og , er deres symmetriske forskel foreningen af elementer ikke i med elementer ikke i . På skrift bruges notationen til at angive den symmetriske forskel mellem mængder og , notationen eller [1] er mindre almindeligt anvendt . $EN$ $B$ $EN$ $B$ $B$ $EN$ $EN$ $B$ $A\bigtriangleup B$ $A\,{\dot {-}}\,B$ $A+B$

Definition

Den symmetriske forskel kan indtastes på to måder:

den symmetriske forskel mellem to givne sæt og er et sådant sæt , som omfatter alle de elementer i det første sæt, der ikke er inkluderet i det andet sæt, såvel som de elementer i det andet sæt, der ikke er inkluderet i det første sæt: $EN$ $B$ $A\bigtriangleup B$

A\bigtriangleup B=\left(A\setminus B\right)\cup \left(B\setminus A\right).

den symmetriske forskel på to givne sæt og er et sådant sæt , der inkluderer alle de elementer i begge sæt, som ikke er fælles for de to givne sæt. $EN$ $B$ $A\bigtriangleup B$

A\bigtriangleup B=\left(A\cup B\right)\setminus \left(A\cap B\right).

Begrebet en symmetrisk forskel kan generaliseres til mere end to sæt .

Egenskaber

Den symmetriske forskel er en binær operation på enhver boolsk ;
Den symmetriske forskel er kommutativ :

A\bigtriangleup B=B\,\triangle \,A;

Symmetrisk forskel er associativ :

\left(A\bigtriangleup B\right)\,\triangle \,C=A\bigtriangleup \left(B\,\triangle \,C\right);

Skæringspunktet mellem mængder er distributivt med hensyn til den symmetriske forskel:

A\cap \left(B\bigtriangleup C\right)=\left(A\cap B\right)\bigtriangleup \left(A\cap C\right);

Det tomme sæt er det neutrale element i den symmetriske forskel:

A\bigtriangleup \varnothing =A;

Ethvert sæt er omvendt til sig selv med hensyn til den symmetriske differensoperation:

A\bigtriangleup A=\varnothing ;

Især en boolsk med en symmetrisk differensoperation er en abelsk gruppe ;
Boolean med den symmetriske differensoperation er også et vektorrum over feltet $\mathbb {Z} _{2}.$
Især den boolske med sæt skærings- og symmetriske differensoperationer er en algebra med enhed .
$\left(A_{1}\cap A_{2}\right)\bigtriangleup \left(B_{1}\cap B_{2}\right)\subset \left(A_{1}\bigtriangleup B_{ 1}\right)\kop \left(A_{2}\bigtriangleup B_{2}\right);$
$\left(A_{1}\kop A_{2}\right)\bigtriangleup \left(B_{1}\cup B_{2}\right)\subset \left(A_{1}\bigtriangleup B_{ 1}\right)\kop \left(A_{2}\bigtriangleup B_{2}\right);$
$\left(A_{1}\setminus A_{2}\right)\bigtriangleup \left(B_{1}\setminus B_{2}\right)\subset \left(A_{1}\bigtriangleup B_{ 1}\right)\kop \left(A_{2}\bigtriangleup B_{2}\right);$

Hvis rollen som "sum" spilles af driften af en symmetrisk forskel, og rollen som "produkt" spilles af skæringspunktet mellem sæt , danner sættene en ring med enhed . Desuden kan andre grundlæggende operationer af mængdeteori, forskel og forening udtrykkes gennem dem: