Signatur (lineær algebra)

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 7. november 2021; checks kræver 3 redigeringer .

I lineær algebra er en signatur en numerisk karakteristik af en kvadratisk form eller pseudo-euklidisk rum , hvor skalarproduktet er givet af den tilsvarende kvadratiske form.

Definition

Hver andengradsform med reelle koefficienter kan reduceres ved en ikke-degenereret lineær ændring af variable til den kanoniske form

x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{p}^{2}-x_{{p+1}}^{2}-x_{{p+2} }^{2}-\cdots -x_{{p+q}}^{2}.

Forskellen mellem antallet af positive og negative led i denne notation kaldes signaturen på den kvadratiske form. Signaturens tal p og q afhænger ikke af måderne at bringe formen til den kanoniske form ( Sylvesters inertilov ). $pq$

Signaturen på en kvadratisk form skrives også som et talpar eller som et passende antal plusser og minusser. $(p,q)$ $(+\cdots+-\cdots-)$

Eksempel

En kvadratisk form i to variable kan reduceres til en kanonisk form , for eksempel ved at bruge en lineær ændring af variable: $x_{1}x_{2}$ ${\tilde x}_{1}^{2}-{\tilde x}_{2}^{2},$

$x_{1}=({\tilde {x}}_{1}+{\tilde {x}}_{2}),$ $x_{2}=({\tilde {x}}_{1}-{\tilde {x}}_{2}).$

Signaturen for denne kvadratiske form er nul, eller den kan skrives som eller som $(1.1)$ $(+-).$

Se også

Litteratur

Maltsev AI Fundamentals af lineær algebra. — M.: Nauka, 1975.
Gelfand I. M. Forelæsninger over lineær algebra. — M.: Nauka, 1971.
Faddeev D. K. Forelæsninger om Algebra. — M.: Nauka, 1984.
V. A. Ilyin, E. G. Poznyak Lineær Algebra, M.: M.: Nauka, Fizmatlit, 1999.
Shafarevich I. R. , Remizov A. O. Lineær algebra og geometri. — M.: Fizmatlit, 2009.