Tensor Convolution

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 27. oktober 2020; verifikation kræver 1 redigering .

Konvolution i tensorregning er operationen med at sænke tensorens valens med 2, hvilket omdanner valenstensoren til valenstensoren . $(m, n)$ $(m-1, n-1)$

Definition

I det enkleste tilfælde er kontraktionen for en simpel tensor af typen defineret som en skalar . Denne operation fortsætter lineært til alle tensorer af typen . $v\otimes f$ $(1,1)$ $f(v)$ $(1,1)$

Generelt kan en type tensor ses som en lineær kortlægning fra rummet af valens tensorer til rummet af valens tensorer ; for at vælge en sådan repræsentation skal man vælge et kokontravariant indeks. Billedets foldning giver en kortlægning fra rummet af valenstensorer til skalarer, det vil sige valenstensoren . Det kaldes tensorens foldning af de to givne indekser. $(m, n)$ $(n-1,m-1)$ $(1,1)$ $(n-1,m-1)$ $(m-1, n-1)$

Notation

I koordinater skrives det som følger:

{T^{i_1, \dots, \underline{i_0}, \dots, i_n}_{j_1, \dots, \underline{j_0}, \dots, j_n}} \rightarrow {T^{i_1, \dots, i_n}_{j_1, \dots, j_n}} = {T^{i_1, \dots, \underline{i_0}, \dots, i_n}_{j_1, \dots, \underline{i_0}, \dots, j_n }}

hvor Einstein summeringsreglen anvendes over gentagne multivariante (øvre og nedre) indekser, det vil sige i dette tilfælde over . $i_{0}$

Ofte udføres foldningsoperationen på tensorer, der er produkter af tensorer, eller kort sagt, to eller flere tensorer er konvolverede.

For eksempel er der en registrering af den almindelige multiplikation af matrix A med matrix B, det vil sige i den sædvanlige matrixnotation, skrive indeksene nederst og ikke udelade sumtegnet, dette er $A^i_j B^j_k$

\sum_{j=1}^N A_{ij} B_{jk}

I princippet udføres foldningen altid over de øvre og nedre indekser, men hvis den metriske tensor er givet , kan de ko- og kontravariante indekser entydigt oversættes til hinanden (hæve og sænke), så foldningen kan bæres ud over ethvert indekspar ved hjælp af den metriske tensor, hvis begge indekser er øvre eller nedre. For eksempel:

A_{ij} B_{jk} = A_{ij} g^{jm} B_{mk} = A_{ij} B^j_{\ k} = C_{ik}

Bemærk : foldeoperationen er defineret og giver mening ikke kun for tensorobjekter. Under alle omstændigheder, i komponenter, bruges nøjagtig den samme operation til foldning med koordinattransformationsmatricer (Jacobi-matricer ) og med affine forbindelseskomponenter , der ikke er repræsentationer af tensorer. Disse viklinger har også en klar geometrisk betydning og spiller en vigtig rolle i tensoranalyse og bruges også til at konstruere en repræsentation af reelle tensorobjekter, såsom krumningstensoren .

Eksempler

Foldes en tensor over et par indekser, over hvilke den er anti(skæv)symmetrisk, giver det en nultensor.
Konvolutionen af en vektor v med en tensor A af rang (1,1) repræsenterer multiplikationen af vektoren med en lineær operator, sådan som en sådan tensor er i forhold til vektoren. $A^i_{\ j} v^j$
Konvolutionen af vektorerne a og b med tensor B af rang (0,2) er en bilineær form ; så foldningen af to vektorer med en metrisk tensor giver deres skalarprodukt. $\ B_{ij} a^ib^j$ $\ g_{ij} a^ib^j$
Inklusive - andengradsform ; dette er hvordan foldningen med den metriske tensor giver kvadratet af vektorens norm. $\ B_{ij}v^iv^j$
Konvolutionen af en kovariant og kontravariant vektor giver virkningen af 1-formen på vektoren, eller hvis vi betragter de kovariante komponenter som blot en dobbelt repræsentation af den reelle vektor, så er dette skalarproduktet af to vektorer, en af som er repræsenteret i det dobbelte grundlag. $\ a_j b^j$
Konvolutionen af tensoren A af rang (1,1) (med sig selv) er sporet af matrixen . Dette er det enkleste tilfælde af at konstruere en (skalær) invariant ud fra en tensor. $A^j_{\ j}$ $A^i_{\ j}$
En lineær operators handling på rummet af tensorer af en bestemt rang er en foldning med en tensor på dobbelt rang, kovariant så mange gange som kontravariant, for eksempel (i koordinatnotation): $B^i_{jk} = L^{i\ \ \ qr}_{jkp} A^p_{qr}$

Egenskaber

En (korrekt) foldning af en eller flere tensorer (inklusive vektorer og skalarer) giver altid en tensor (herunder muligvis en vektor eller skalar).

Litteratur

Vinberg E. B. Algebra kursus. - 2. - Moskva: MTSNMO, 2014. - S. 347. - 590 s. — ISBN 978-5-4439-2013-9 .