Levi-Civita-forbindelse

Levi-Civita-forbindelsen (eller forbindelsen forbundet med metrikken ) er en af hovedstrukturerne på en Riemann-manifold. Giver en naturlig måde at differentiere vektorfelter på på en Riemannmanifold ; svarer til at specificere kovariant differentiering såvel som parallel translation langs kurver. Opkaldt efter den italienske matematiker Tullio Levi-Civita .

Definition

En Levi-Civita-forbindelse er en affin forbindelse med nul - torsion på en Riemann -manifold (eller pseudo-Riemann- manifold) , med hensyn til hvilken den metriske tensor er kovariant konstant. $M$

Det vil sige, at en affin forbindelse på en Riemann-manifold kaldes en Levi-Civita-forbindelse, hvis følgende to betingelser er opfyldt for den: $\nabla$ $(M,\;g)$

(Riemann) for alle vektorfelter , , sand , hvor angiver den afledede i retningen . $x$ $Y$ $Z$
$X(g(Y,\;Z))=g(\nabla_X Y,\;Z)+g(Y,\;\nabla_X Z)$
$X(g(Y,\;Z))$ $g(Y,Z)$ $x$
(fravær af torsion) for alle vektorfelter og , hvor er Lie-parenteserne for vektorfelterne og . $x$ $Y$
$\nabla_XY-\nabla_YX-[X,\;Y]=0$
$[X,\;Y]$ $x$ $Y$

Egenskaber

Enhver Riemann-manifold (og pseudo-Riemann-manifold) har en unik Levi-Civita-forbindelse; denne erklæring kaldes undertiden den grundlæggende sætning i Riemannsk geometri .

Se også

Litteratur

Burago Yu.D., Zalgaller V.A. Introduktion til Riemannsk geometri. - St. Petersborg: Nauka, 1994. - ISBN 5-02-024606-9 .