Matrix rang

Rangeringen af et system af rækker (kolonner) i en matrix med rækker og kolonner er det maksimale antal lineært uafhængige rækker (kolonner). Flere rækker (kolonner) kaldes lineært uafhængige, hvis ingen af dem kan udtrykkes lineært i forhold til andre. Rækkesystemets rang er altid lig med kolonnesystemets rang, og dette tal kaldes matrixens rang. $EN$ $m$ $n$

Rangen af en matrix er den højeste af rækkefølgerne af alle mulige mindreårige , der ikke er nul i denne matrix. Rangeringen af en nulmatrix af enhver størrelse er nul. Hvis alle andenordens mindreårige er lig nul, så er rangen lig med én, og så videre.

Rangen af en matrix er dimensionen af billedet af den lineære operator , som matrixen svarer til. $\dim(\operatørnavn {im} (A))$

Normalt er rangen af en matrix angivet med , , , eller . Den sidste mulighed er typisk for engelsk, mens de to første er for tysk, fransk og en række andre sprog. $EN$ $\operatørnavn{rang}A$ $\operatørnavn {r} A$ $\operatorname{rg}A$ $\operatørnavn {rk} A$ $\operatørnavn{rang}A$

Definition

Lad være en rektangulær matrix. $A_{m\ gange n}$

Derefter er rangeringen af en matrix pr. definition : $EN$

nul hvis — nul matrix ; $EN$
nummer , hvor er den mindre af ordensmatrixen , og er den mindre af orden omkring den , hvis de findes. $r\in\mathbb{N}:\;\exist M_r\neq 0,\;\forall M_{r+1}=0$ $Hr$ $EN$ $r$ $M_{r+1}$ $(r+1)$

Sætning (om rigtigheden af definitionen af rækker). Lad alle minor i ordensmatrixen være lig med nul ( ). Så hvis de eksisterer. $A_{m\ gange n}$ $k$ $M_k=0$ $\foralt M_{k+1}=0$

Relaterede definitioner

Rangen af en matrix af størrelse siges at være komplet , hvis . $EN$ $m\ gange n$ $\operatørnavn {rang} A=\min\{m,n\}$
Basis-moll af en matrix er enhver ikke-nul- moll af en matrix af orden , hvor . $EN$ $EN$ $r$ $r=\operatørnavn{rang}A$
- Rækker og kolonner, der har en basis-minor i deres skæringspunkt, kaldes basisrækker og -kolonner . (De er defineret tvetydigt på grund af tvetydigheden af basis minor.)

Egenskaber

Sætning (på basis minor): Lad være basis minor af matricen , så: $r=\operatørnavn{rang}A, M_r$ $EN$

grundlæggende rækker og grundlæggende kolonner er lineært uafhængige ;
enhver række (søjle) i en matrix er en lineær kombination af grundlæggende rækker (søjler). $EN$

Konsekvenser:

Hvis rangeringen af en matrix er , så vil alle rækker eller kolonner i denne matrix være lineært afhængige. $r$ $p\kolon p>r$
Hvis er en kvadratisk matrix, og , så er rækkerne og kolonnerne i denne matrix lineært afhængige. $EN$ $\det A=0$
Lad , så er det maksimale antal lineært uafhængige rækker (kolonner) i denne matrix . $r=\operatørnavn{rang}A$ $r$

Sætning (om ranginvarians under elementære transformationer): Lad os introducere en notation for matricer opnået fra hinanden ved elementære transformationer . Så er udsagnet sandt: Hvis , så er deres rækker lige store. $A\sim B$ $A\sim B$

Kronecker-Capelli-sætning : Et system af lineære algebraiske ligninger er konsistent, hvis og kun hvis rangordenen af dens hovedmatrix er lig med rangordenen af dens udvidede matrix. I særdeleshed:

Antallet af hovedvariable i systemet er lig med systemets rang.
Et konsistent system vil blive defineret (dets løsning er unik), hvis systemets rang er lig med antallet af alle dets variable.

Sylvesters ulighed : Hvis A og B er matricer af dimensionerog, så $m\ gange n$ $n \ gange k$

\operatørnavn {rang} AB\geq \operatørnavn {rang} A+\operatørnavn {rang} Bn

Dette er et særligt tilfælde af følgende ulighed.

Frobenius' ulighed : Hvis AB, BC, ABC er veldefinerede, så

\operatørnavn {rang} ABC\geq \operatørnavn {rang} AB+\operatørnavn {rang} BC-\operatørnavn {rang} B

Lineær transformation og matrixrangering

Lad være størrelsesmatrixen over feltet (eller ). Lade være en lineær transformation svarende i standardgrundlaget; det betyder at . Rangen af en matrix er dimensionen af transformationsbilledet . $EN$ $m\ gange n$ $C$ $R$ $T$ $EN$ $T(x)=Ax$ $EN$ $T$

Metoder

Der er flere metoder til at finde rangeringen af en matrix:

Metode til elementære transformationer . Rangeringen af en matrix er lig med antallet af ikke-nul rækker i matrixen, efter at den er blevet reduceret til en trinvis form ved hjælp af elementære transformationer over matrixrækkerne.

Metoden til at grænse mindreårige . Lad en mindre mol af th orden findes i matrixen . Overvej alle mindreårige af den -. orden, inklusive (afgrænsende) mindre ; hvis de alle er lig nul, så er rangen af matrixen . Ellers er der blandt de tilgrænsende mindreårige en ikke-nul, og hele proceduren gentages. $EN$ $k$ $M$ $(k+1)$ $M$ $k$

Litteratur

Ernest Winberg . Algebrakursus (5. september 2017). Dato for adgang: 24. august 2018. (Russisk)