Radikal akse af to cirkler

Den radikale akse af to cirkler er stedet for punkter, hvis grader i forhold til to givne cirkler er ens. Med andre ord er længderne af fire tangenter trukket til to givne cirkler fra ethvert punkt M af et givet punktsted ens.

Den radikale akse af to cirkler eksisterer, hvis og kun hvis cirklerne er ikke-koncentriske, og kan defineres både for cirkler og for punkter (cirkler med nul radius) og imaginære cirkler (imaginær radius).

Egenskaber for den radikale akse

Den radikale akse er lige. Da graden af punktet i forhold til cirklen er, hvor koefficienterne A, B og C bestemmes i form af koordinaterne for centrum og radius af cirklen, så ved at sidestille punktets grader med hensyn til to cirkler, får vi, og dette er ligningen for en ret linje. Der er også et bevis for denne kendsgerning ved kun at bruge geometriske metoder. $x^{2}+y^{2}+Ax+By+C,$ $x^{2}+y^{2}+A_{1}x+B_{1}y+C_{1}=x^{2}+y^{2}+A_{2}x+ B_ {2}y+C_{2}\Leftrightarrow (A_{1}-A_{2})x+(B_{1}-B_{2})y+(C_{1}-C_{2})=0,$
Radikalaksen er vinkelret på centerlinjen, som følger af begge cirklers symmetri omkring centerlinjen.
Hvis P er et punkt på den radikale akse, så er længderne af tangenterne fra punktet P til begge cirkler ens - dette følger af, at punktets grad er lig kvadratet af længden af tangentsegmentet. Især halverer den radikale akse segmenterne af de fælles tangenter.

Hvis cirklerne skærer hinanden i to punkter, vil deres radikalakse være en ret linje, der går gennem disse punkter, hvis de rører eksternt, så vil den fælles indre tangent være den radikale akse, hvis intern, så den fælles tangent (den eneste) .

Hvis linjerne, der indeholder akkorderne og henholdsvis første og anden cirkler, skærer hinanden på den radikale akse, så er firkanten indskrevet . Dette er let at bevise: lad være skæringspunktet. Ved egenskaben af graden af et punkt er den lig med og da P ligger på den radikale akse, så er den lig med og Siden punkterne og ligger på samme cirkel. Det omvendte er også sandt: hvis to cirkler skæres af tertsen, så det er den fælles akkord for første og terts, og er den fælles akkord for anden og terts, så vil linjerne AB og CD skære hinanden på den radikale akse af de to første cirkler desuden i det såkaldte radikale centrum af de tre cirkler (se . nedenfor). Konstruktionen af den radikale akse med et kompas og en lineal er baseret på denne egenskab: vi konstruerer en cirkel, der skærer to givne data i fire punkter, og derefter dropper vi en vinkelret fra deres radikale centrum til centerlinjen. $AB$ $CD$ $ABCD$ $P$ $PA\cdot PB,$ $PC\cdot PD.$ $PA\cdot PB=PC\cdot PD,$ $A,B,C$ $D$ $AB$ $CD$

De radikale akser i tre cirkler med ikke-kollineære centre skærer hinanden i et punkt, kaldet det radikale centrum . Lad være cirkler og lad være skæringspunktet for den radikale akse af cirklerne og med den radikale akse af cirklerne og . Hvis er graden af et punkt i forhold til cirklen , så ligger per definition af den radikale akse og punktet på den radikale akse af cirklerne og ${\displaystyle \Omega _{1},\Omega _{2},\Omega _{3))$ $P$ ${\displaystyle \Omega _{1))$ ${\displaystyle \Omega _{2))$ ${\displaystyle \Omega _{2))$ ${\displaystyle \Omega _{3))$ ${\mathfrak {P}}(\omega ,A)$ $EN$ $\omega,$ ${\mathfrak {P}}(\Omega _{1},P)={\mathfrak {P}}(\Omega _{2},P)={\mathfrak {P}}(\Omega _ {3},P),$ $P$ ${\displaystyle \Omega _{1))$ $\Omega _{3}.$
Lokuset for cirklers centre ortogonalt i forhold til to givne data er deres radikalakse med den fælles akkord udelukket (hvis nogen). Se fig.

Antihomologe akkorder[ klargør ] to cirkler skærer hinanden på deres radikale akse (tilsyneladende mener vi to akkorder, der går gennem to par antihomotetiske punkter i to cirkler, se figuren nedenfor).
Lade være en firkant, linjer og skærer ved , Og - ved . Så cirklerne bygget på segmenterne , og , som på diametre, har en fælles radikal akse, hvorpå der ligger skæringspunkterne for højderne af trekanter , , og ( Auber-Steiner linje ). $ABCD$ $AB$ $CD$ $F$ $f.Kr$ $AD$ $E$ $AC$ $BD$ $EF$ $ABE$ $CDE$ $BCF$ $ADF$

Ortogonalitet

To cirkler, der skærer hinanden i rette vinkler , kaldes ortogonale . Cirkler kan betragtes som ortogonale , hvis de danner en ret vinkel med hinanden.
To cirkler, der skærer hinanden i punkterne A og B med centrene O og O', kaldes ortogonale , hvis de er rette vinkler OAO' og OBO' . Det er denne betingelse, der garanterer en ret vinkel mellem cirklerne. I dette tilfælde er radierne (normalerne) af de to cirkler tegnet til punktet for deres skæringspunkt vinkelrette. Derfor er tangenterne af to cirkler trukket til punktet for deres skæringspunkt også vinkelrette. Cirklens tangent er vinkelret på radius (normal) tegnet til kontaktpunktet. Normalt er vinklen mellem kurver vinklen mellem deres tangenter tegnet ved deres skæringspunkt.
Der kan være en anden yderligere betingelse. Lad to cirkler, der skærer i punkterne A og B , have midtpunkter af skærende buer i punkterne C og D , det vil sige, at buen AC er lig med buen CB , buen AD er lig med buen DB . Så kaldes disse cirkler ortogonale , hvis de er rette vinkler СAD og СBD .

Konsekvenser fra egenskaberne for den radikale akse

På en lige linje, der går gennem tangenspunkterne i to cirkler i en trekant med to af dens sider, afskærer disse cirkler lige store segmenter.
Sidstnævnte kan formuleres som følger. Hvis 2 omkredse af en trekant rører 2 af dens forskellige sider og 2 af deres forlængelser ved 4 tangentpunkter, så er firkanten dannet af de sidste 4 punkter som hjørner en ligebenet trapez med 2 sidesider ens, og også 2 diagonaler (tangens til 2 cirkler).
Diagonalerne af en sekskant, der er afgrænset omkring en cirkel, der forbinder modsatte hjørner, skærer hinanden i et punkt ( Brianchons sætning for en cirkel).

Se også

radikalt centrum

Radikal akse af to cirkler

Egenskaber for den radikale akse

Ortogonalitet

Konsekvenser fra egenskaberne for den radikale akse

Links

Se også