Ensartet kontinuitet

Equidistant kontinuitet er en egenskab ved en familie af kontinuerlige funktioner , som består i, at hele familien af funktioner ændrer sig på en eller anden kontrolleret måde. Det bruges til at vælge en ensartet konvergent sekvens fra en bestemt familie af funktioner: Arzela-Ascoli-sætningen gør det muligt for en ligekontinuerlig og ensartet afgrænset familie på for eksempel et kompakt metrisk rum.

Definition

Den nøjagtige definition af equicontinuity afhænger af konteksten. I den enkleste version, lad være en familie af reelt værdifulde kontinuerlige funktioner på intervallet , og være en underfamilie af det. Denne underfamilie kaldes equicontinuous, hvis der for nogen eksisterer sådan , at betingelsen for enhver funktion og ethvert punkt følger af betingelsen . Som du kan se, adskiller betingelsen for ækvikontinuitet for en familie af funktioner sig fra betingelsen om ensartet kontinuitet af alle funktioner separat ved at overføre fragmentet "for enhver " under et par kvantifikatorer for epsilon og delta. $C(a,b)$ $[a,b]$ $D\undersæt C(a,b)$ $\varepsilon >0$ $\delta>0$ $finde$ $x_{1},x_{2}\in [a,b]$ $|x_{1}-x_{2}|<\delta$ $|f(x_{1})-f(x_{2})|<\varepsilon$ $finde$

Denne definition kan generaliseres ordret til tilfældet med kompakte metriske rum og og en underfamilie af en familie af kontinuerlige kortlægninger fra til : en underfamilie kaldes ækvikontinuerlig, hvis der for nogen eksisterer, således at betingelsen for enhver funktion og ethvert punkt følger af betingelsen . $x$ $Y$ $D\subset C(X,Y)$ $x$ $Y$ $D$ $\varepsilon >0$ $\delta>0$ $f\in D$ $x_1, x_2\in X$ $d_{X}(x_{1},\;x_{2})<\delta$ $d_{Y}(f(x_{1}),\;f(x_{2}))<\varepsilon$

Ved at erstatte - -formalismen med formalismen af åbne delmængder opnås en mere generel definition for topologiske rum og og en underfamilie af en familie af kontinuerlige kortlægninger fra til : en underfamilie kaldes ækvikontinuerlig ved et punkt og et punkt, hvis for et hvilket som helst kvarter . der eksisterer et sådant kvarter , at enhver funktion er knyttet til . En mapping kaldes equicontinuous, hvis betingelsen ovenfor er opfyldt for alle par . Hvis og er topologiske vektorrum , og afbildningerne mellem dem ikke kun er kontinuerlige, men også lineære, så er det tilstrækkeligt at kontrollere denne betingelse ved et par punkter . $\varepsilon$ $\delta$ $x$ $Y$ $D\subset C(X,Y)$ $x$ $Y$ $D$ $x\i X$ $y\i Y$ $W\ni y$ $V\ni x$ $f\in D$ $V$ $W$ $(x,y)\in X\ gange Y$ $x$ $Y$ $(0_{X},0_{Y})$

Artzel-Ascoli-sætningen

Arzela-Ascoli-sætningen siger, at for kompakte metriske rum er ækvikontinuitet ækvivalent med relativ kompaktitet , udstyret med en metrisk $D$ $D$ $\undersæt$ $C(X,\;Y)$

\rho (f,\;g)=\max _{x\in X}d_{Y}(f(x),\;g(x))

Litteratur

Kolmogorov A. N., Fomin S. V., Elementer i funktionsteorien og funktionel analyse, 5. udgave, M., 1981;
Edwards R., Funktionel analyse, trans. fra engelsk, IT., 1969.