Jumping Vieta

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 4. januar 2021; checks kræver 12 redigeringer .

Jumping Vieta ( afspejler rødder ) er en bevismetode, der bruges i talteori ; bruges oftest til problemer, hvor forholdet mellem to naturlige tal er givet, og det er påkrævet at bevise nogle udsagn relateret til dem. Der er flere variationer af metoden, der på en eller anden måde er relateret til det generelle tema om uendelig afstamning , hvor der fra en given løsning findes en ny (mindre) løsning ved hjælp af  Vietas formler .

Historie

Vieta-spring er en relativt ny metode til at løse  matematiske problemer i Olympiade . Det første problem af denne art blev foreslået ved den 29. internationale matematiske olympiade  i 1988 , og dette problem blev betragtet som det sværeste af dem, der blev foreslået ved olympiaden: [1]

Ingen af ​​de seks medlemmer af Australian Task Commission var i stand til at løse dette problem. To af dem er György Sekeres og hans kone, begge kendte løsere og problemskribenter. Da det var et talteoretisk problem, blev det sendt til fire af Australiens mest berømte matematikere, som var specialister på dette område. De blev bedt om at arbejde på det i seks timer. Ingen af ​​dem var i stand til at løse det i løbet af denne tid. Opgavekomitéen præsenterede den for juryen for det 29. MMO og markerede den med to stjerner. Det betød, at opgaven var yderst vanskelig; måske endda for kompleks til at blive tilbudt deltagerne i Olympiaden. Efter en længere diskussion vovede juryen alligevel at foreslå det som det sidste problem ved Olympiaden. Elleve elever præsenterede hendes præcise løsninger.Artur Engel

Blandt de elleve studerende, der modtog den maksimale score for at løse dette problem, var den fremtidige  Fields-pristager  Ngo Bao Chau (16 år) [2] . To andre fremtidige Fields-vindere ,  Terence Tao (12 år) og Elon Lindenstrauss (17 år), fik kun ét point hver på det sjette problem [3] .

Vieta Standard Jumps

Vietas standardspring udfører et  modsigelsesbevis  i tre trin: [4]

  1. Det antages, at der er tal relateret til denne relation, men at de ikke opfylder den påstand, der bevises.
  2. En minimal løsning ( A , B ) med hensyn til en eller anden funktion (for eksempel A + B ) overvejes. Det oprindelige forhold konverteres derefter til en andengradsligning med koefficienter afhængig af B , og hvis rødder er lig med A . Ved hjælp af Vieta-formlerne findes den anden rod af denne ligning.
  3. Det er vist, at den anden rod giver en løsning, der har en mindre værdi af den valgte funktion. Der er således en modsigelse med minimaliteten af ​​værdien af ​​funktionen på den oprindelige løsning, og derfor er antagelsen fra trin 1 falsk.
Eksempel

MMO 1988, opgave 6. Lad a og b  være positive heltal, således at ab + 1 deler a 2 + b 2 . Bevis deta 2 + b 2ab +1 er en perfekt firkant . [5] [6]

  1. Lad k =a 2 + b 2ab +1. Antag, at der er en løsning, hvor k ikke er et perfekt kvadrat.
  2. For en sådan værdi af k skal du overveje en løsning ( A , B ) , der minimerer værdien af ​​A + B . Uden tab af generalitet kan vi antage, at A ≥ B . Hvis vi omskriver udtrykket for k og erstatter A med x , får vi andengradsligningen  x 2- ( kB ) x + ( B 2 - k ) = 0 . Ved konstruktion er x 1 = A roden til denne ligning. Ifølge Vieta-formlerne kan den anden rod repræsenteres som x 2 \ u003d kB - A \u003dB2 - k _EN.
  3. Af det første udtryk for x 2 følger, at x 2 er et heltal, og af det andet, at x 2 ≠ 0 . Da k =x 2 2 + B 2x 2 B + 1> 0 , så er x 2 positiv. Til sidst, fra A ≥ B  følger det, at x 2 = B2 - k _EN< A og derfor  x 2 + B < A + B , hvilket modsiger minimaliteten af ​​løsningen ( A , B ) .

Kontinuerlig nedstigning ved at hoppe Vieta

Vietas metode til kontinuerlig hoppenedstigning bruges til at bevise en påstand om en konstant k , der afhænger af forholdet mellem heltal a og b . I modsætning til Vietas standardspring er den kontinuerlige nedstigning ikke bevis ved modsigelse og består af følgende fire trin [7] :

  1. Tilfældet med lighed a = b betragtes separat . I det følgende antages det, at a > b .
  2. Værdierne af b og k er faste . Relationen mellem a , b  og k er reduceret til form af en andengradsligning med koefficienter afhængige af b og k , hvis rødder er x 1 = a . Den anden rod x 2 bestemmes ved hjælp af Vieta-formlerne. 
  3. Det er vist, at for alle ( a , b ) større end nogle grundlæggende værdier er uligheden 0 < x 2 < b < a opfyldt , og x 2 er et heltal. Fra opløsningen ( a , b ) kan man således gå ned til opløsningen ( b , x 2 ) og gentage denne proces, indtil der opnås en opløsning med basisværdier.
  4. Påstanden er bevist for grundlæggende værdier. Da k forbliver uændret under nedstigningen, indebærer dette, at gyldigheden af ​​påstanden bliver bevist for alle ordnede par ( a , b ) .
Eksempel

Lad positive heltal  a og b  være sådan, at ab deler a 2 + b 2 + 1 . Det er nødvendigt at bevise, at 3 ab = a 2 + b 2 + 1 . [otte]

  1. Hvis a = b , så skal a 2 dividere 2 a 2 + 1 . Hvorfra a = b = 1  og så 3(1)(1) = 1 2 + 1 2 + 1 . I det følgende, uden tab af almenhed, antager vi, at a > b .
  2. Lad k =a 2 + b 2 + 1ab. Ved at transformere denne lighed og erstatte a  med x får vi en andengradsligning x 2 − ( kb ) x + ( b 2 + 1) = 0 , hvoraf en af ​​rødderne er x 1 = a . Ifølge Vieta-formlerne kan den anden rod repræsenteres som: x 2 = kb − a =b 2 + 1-en.
  3. Den første repræsentation viser, at x 2 er et heltal, og den anden repræsentation, at dette tal er positivt. Uligheden a > b betyder, at x 2 =b 2 + 1-en< b hvis b > 1 .
  4. Så grundtilfældet er værdien b = 1 . I dette tilfælde skal værdien af ​​a dividere a 2 + 2 , og derfor er a lig med 1 eller 2. Tilfældet a = 1 er umuligt, da a ≠ b . I tilfældet a = 2 har vi k = a 2 + b 2 + 1ab=62= 3 . Da værdien af ​​k ikke ændrede sig under nedstigningen, får vi deta 2 + b 2 + 1ab= 3 , det vil sige 3 ab = a 2 + b 2 + 1 , for alle ordnede par ( a , b ) .

Geometrisk fortolkning

Vietas hop kan beskrives i form af heltalspunkter på hyperbler i første kvadrant . [1] I dette tilfælde svarer processen med at finde en mindre rod til søgningen efter mindre heltalspunkter på hyperbelen inden for den første kvadrant. Denne proces kan beskrives som følger:

  1. Fra denne betingelse får vi en ligning for en familie af hyperbler, der ikke ændrer sig, når x og y ombyttes. Med andre ord er disse hyperbler symmetriske omkring linjen y = x .
  2. Den påkrævede påstand er bevist for hyperblernes skæringspunkter og linjen y = x .
  3. Det antages, at ( x , y )  er et heltalspunkt på en hyperbel og uden tab af generalitet x < y . Derefter findes der ifølge Vieta-formlerne et heltal med samme værdi af den første koordinat på en anden gren af ​​hyperbelen. Så frembringer afspejlingen af ​​dette punkt i forhold til den rette linje y = x et nyt heltalspunkt på hyperbelens oprindelige gren.
  4. Det er vist, at denne proces fører til at finde mindre punkter på den samme gren af ​​parablen, så længe en bestemt betingelse er opfyldt (f.eks. x = 0 ). Ved at erstatte denne betingelse i hyperbelens ligning, bekræftes det, at den påstand, der bevises, holder for den.
Eksempel

Lad os anvende den beskrevne metode til opgave nr. 6 med MMO 1988: Lad a og b  være positive heltal, således at ab + 1 deler a 2 + b 2 . Bevis deta 2 + b 2ab +1 er en perfekt firkant .

  1. Ladea 2 + b 2ab +1= q . Vi fastsætter værdien af ​​q og betragter hyperbelen H givet ved ligningen x 2 + y 2 − qxy − q = 0 . Så er ( a , b ) et punkt på denne hyperbel.
  2. Hvis x = y , så er x = y = q = 1 , hvilket trivielt opfylder problemformuleringen.
  3. Lad ( x , y )  være et heltalspunkt på den "øvre" gren af ​​hyperbelen H med x < y . Så følger det af Vieta-formlerne, at ( x , qx − y )  er et heltalspunkt på den "nederste" gren af ​​hyperbelen H . Refleksionen af ​​dette punkt er punktet ( qx − y , x ) på den oprindelige "øvre" gren. Den anden koordinat for det modtagne punkt er mindre end det oprindelige punkt, hvilket betyder, at den er under det oprindelige punkt.
  4. Denne proces kan gentages. Det følger af ligningen for hyperbelen H , at de resulterende punkter forbliver inden for den første kvadrant. Således vil gentagelsen af ​​processen ende, når værdien x = 0 modtages . Dens substitution i ligningen for hyperbelen H giver q = y 2 , hvilket skulle bevises.

Se også

Noter

  1. ↑ 12 Arthur Engel . Problemløsningsstrategier (neopr.) . - Springer , 1998. - S. 127. - ISBN 978-0-387-98219-9 .  
  2. ↑ Resultater af International Mathematical Olympiade 1988 . imo-official.org. Hentet 3. marts 2013. Arkiveret fra originalen 2. april 2013.
  3. ↑ [https://web.archive.org/web/20200104173313/https://www.youtube.com/watch?v=zzmlA7iAGG4 Arkiveret 4. januar 2020 ved Wayback Machine Spørgsmål #6 Legend Returns [Numberphile] - YouTube ]
  4. ↑ Yiming Ge. The Method of Vieta Jumping  (neopr.)  // Matematiske refleksioner. - 2007. - T. 5 .
  5. ↑ AoPS Forum - Et af mine yndlingsproblemer, ja! . Artofproblemsolving.com. Hentet: 3. marts 2013.
  6. ↑ KS Brown. N = (x^2 + y^2)/(1+xy) er et kvadrat . MathPages.com. Hentet: 26. september 2016.
  7. ↑ AoPS Forum - Lemur Numbers . Artofproblemsolving.com. Hentet: 3. marts 2013.
  8. ↑ AoPS Forum - x*y | x^2+y^2+1 . ArtOfProblemSolving.com (7. juni 2005). Hentet: 3. marts 2013.

Links