Wolstenholme primtal

I talteorien er et Wolstenholm -primtal ethvert primtal , der opfylder den stærke sammenligning fra Wolstenholms sætning . I dette tilfælde er den oprindelige sammenligning fra Wolstenholms sætning opfyldt af alle primtal undtagen 2 og 3. Wolstenholm primtal er opkaldt efter matematikeren Joseph Wolstenholm , som først beviste sætningen i det 19. århundrede.

Interessen for disse primtal opstod på grund af deres forbindelse med Fermats sidste sætning .

Kun to Wolstenholm-primtal kendes, de er 16843 og 2124679 (sekvens A088164 i OEIS ). Der er ingen andre Wolstenholm-primtal mindre end 10 9 [1] .

Definitioner

Uløste problemer i matematik : Er der andre Wolstenholm-primtal end 16843 og 2124679?

Wolstenholmes primtal kan defineres på flere ækvivalente måder.

Gennem binomiale koefficienter

Et Wolstenholme-primtal er et primtal, der opfylder sammenligningen

hvor udtrykket på venstre side betegner den binomiale koefficient [2] . Sammenlign med Wolstenholmes sætning , som siger, at for enhver primtal p  > 3 gælder følgende sammenligning:

Gennem Bernoulli-numre

Et Wolstenholm-primtal er et primtal p , der deler (uden rest) tælleren for Bernoulli-tallet B p −3 [3] [4] [5] . Wolstenholme-primtal er således en delmængde af de uregelmæssige primtal .

Gennem uregelmæssige par

Et Wolstenholme-primtal p  er et primtal, således at ( p , p -3) er et uregelmæssigt par [6] [7] .

Gennem harmoniske tal

Et Wolstenholme-primtal p  er et primtal, således at [8]

det vil sige, at tælleren for det harmoniske tal er delelig med p 3 .

Søg og aktuel status

Jagten på Wolstenholm-prime begyndte i 1960'erne og fortsætter den dag i dag. Det sidste resultat blev offentliggjort i 2007. Den første Wolstenholm prime 16843 blev fundet i 1964, selvom resultatet ikke blev eksplicit offentliggjort [9] . Fundet fra 1964 blev derefter uafhængigt bekræftet i 1970'erne . Dette tal forblev det eneste kendte eksempel på sådanne tal i næsten 20 år, indtil opdagelsen af ​​den anden Wolstenholme prime 2124679 blev annonceret i 1993 [10] . På det tidspunkt fandt man op til 1,2⋅10 7 ikke et eneste Wolstenholm-tal, bortset fra de to nævnte [11] . Grænsen blev senere hævet til 2⋅10 8 af McIntosh i 1995 [4] , mens Trevisan og Weber var i stand til at nå 2,5⋅10 8 [12] . Det sidste resultat blev registreret i 2007 — op til 1⋅10 9 blev der ikke fundet Wolstenholm-primtal [13] .

Forventet beløb

Der er en formodning om, at der er uendeligt mange Wolstenholme-primtal. Det antages også, at antallet af Wolstenholme-primtal , der ikke overstiger x , skal være af størrelsesordenen ln ln x , hvor ln betegner den naturlige logaritme . For ethvert primtal p  ≥ 5 er Wolstenholm-kvotienten

Det er klart, at p er et Wolstenholme-primtal, hvis og kun hvis W p  ≡ 0 (mod  p ). Ud fra empiriske observationer kan vi antage, at resten W p modulo p er ensartet fordelt på mængden {0, 1, ..., p -1}. Af disse grunde bør sandsynligheden for at få en vis rest (f.eks. 0) være omkring 1/ p [4] .

Se også

Noter

  1. ↑ Weisstein, Eric W. Wolstenholme prime  på Wolfram MathWorld- webstedet .
  2. ↑ Cook, J.D. Binomiale koefficienter . Dato for adgang: 21. december 2010. Arkiveret fra originalen 29. januar 2013.
  3. ↑ Clarke & Jones, 2004 , s. 553
  4. ↑ 1 2 3 McIntosh, 1995 , s. 387.
  5. ↑ Zhao, 2008 , s. 25
  6. ↑ Johnson, 1975 , s. 114.
  7. ↑ Buhler et al. (1993) , s. 152.
  8. ↑ Zhao, 2007 , s. atten.
  9. ↑ Selfridge og Pollack udgav den første Wolstenholm-prime i Selfridge & Pollack, 1964 , s. 97 (se McIntosh & Roettger, 2007 , s. 2092).
  10. ↑ Ribenboim, 2004 , s. 23.
  11. ↑ Zhao, 2007 , s. 25.
  12. ↑ Trevisan & Weber (2001) , s. 283-284.
  13. ↑ McIntosh & Roettger (2007) , s. 2092.

Litteratur

Links