Fréchet derivat

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 21. august 2013; checks kræver 4 redigeringer .

Fréchet-afledningen (stærk afledt) er en generalisering af begrebet en afledt til uendeligt-dimensionelle Banach-rum . Navnet er givet til ære for den franske matematiker Maurice Fréchet .

Definition

Lad være en operatør, der handler fra et rigtigt Banach-rum til et rigtigt Banach-rum . $F\colon X\rightarrow Y$ $x$ $Y$

Den Fréchet-afledte af en operator i et punkt er en begrænset lineær operator, således at følgende lighed gælder for enhver: $F$ $x\i X$ $A\colon X\rightarrow Y$ $h\in X$

$F(x+h)-F(x)=Ah+r_{0}(x,\;h),$

og forholdet er sandt for resten : $r_{0}(x,\;h)$

${\frac {\|r_{0}(x,\;h)\|_{Y}}{\|h\|_{X}}}\højrepil 0$ på $\|h\|_{X}\højrepil 0.$

Hvis Fréchet-derivatet eksisterer, siges operatoren at være stærkt differentierbar . Den lineære del af stigningen i dette tilfælde kaldes funktionen Fréchet-differential . $F$ $Ah$ $F$

Det kan påvises, at Fréchet-derivatet, når det eksisterer, er det samme som Gateaux-derivatet .

Egenskaber

Lad være kortlægninger af normerede rum. Så opfylder Fréchet-derivatet: $f,g:G\rightarrow Y$

$(f+g)'(\varphi )=f'(\varphi )+g'(\varphi )$
$(\lambda f)'(\varphi )=\lambda f'(\varphi )$ , hvor λ er noget skalar fra det felt, over hvilket de normerede rum er defineret.
$(f\circ g)'(\varphi )=(f'\circ g)(\varphi )\,g'(\varphi )$ .

Se også

Litteratur

Kolmogorov A.N., Fomin S.V. Elementer i funktionsteori og funktionsanalyse. — M.: FIZMATLIT, 2006. — 572 s. — ISBN 5-9221-0266-4 .
Alekseev V.M., Tikhomirov V.M., Fomin S.V. Optimal kontrol — Enhver udgave.