Primær abelsk gruppe

$s$ -primær Abelsk gruppe (hvor er et fast primtal ) er en Abelsk gruppe sådan, at rækkefølgen af ethvert element fra er en potens af . $s$ $(A,+)$ $EN$ $s$

Eksempler

$(\mathbb {Z} _{p^{n)),+)$ er en additiv gruppe af restklasser modulo ; $p^{n}$
$(\mathbb {Z} _{p}[x],+)$ er den additive gruppe af polynomialringen over feltet . $\mathbb {Z} _{p}$

Egenskaber

Enhver periodisk abelsk gruppe (det vil sige en gruppe uden elementer af uendelig rækkefølge) nedbrydes i en direkte sum af -primære undergrupper. $s$

En primær abelsk gruppe kaldes elementær, hvis alle dens ikke-nul-elementer har orden lig med . $(A,+)$ $s$

En abelsk gruppe er -primær elementær, hvis og kun hvis den nedbrydes til en direkte sum af grupper af formen . $EN$ $s$ $\mathbb {Z} _{p}$

$s$ Højden af et element er det mindste naturlige tal , således at . Hvis en sådan naturlig ikke eksisterer, så har elementet en uendelig -højde. $a\i A$ $n$ $a\in nA$ $n$ $-en$ $s$

Kulikovs kriterium :En -primær Abelsk gruppeer en direkte sum af cykliske grupper, hvis og kun hvisder er en forening af en stigende kæde af undergrupper $s$ $EN$ $EN$

A_{1}\subseteq A_{2}\subseteq \ldots \subseteq A_{n}\subseteq \ldots ,\;\bigcup \limits _{i=1}^{\infty }A_{i}= EN

hvor -højder af ikke-nul elementer af undergrupper er mindre end et fast element . $s$ $A_{i}$ $k_n$

Kulikovs kriterium generaliserer Prufers sætninger :

Prufers første sætning : En afgrænset-primær (periodisk) Abelsk gruppe er en direkte sum af cykliske undergrupper. $s$
Prufers anden sætning :En tællig -primær Abelsk gruppe nedbrydes i en direkte sum af cykliske undergrupper, hvis og kun hvis den ikke indeholder elementer, der ikke er nul og uendelighøj. $s$ $s$

Litteratur

L. Fuchs Uendelige abelske grupper. T. 1, 2. - M .: Mir, 1974, 1977.
L. Ya. Kulikov om teorien om abelianske grupper af vilkårlig kardinalitet // Matematisk samling , 1941. - V. 9, nr. 1. - S. 165-181.
H. Prüfer Untersuchungen über die Zerlegbarkeit der abzählbaren primären abelschen Gruppen // Mathematische Zeitschrift, 1923. - V. 17, nr. 1. - S. 35-61.