Husmandsforvandling

Householder-transformationen ( Householder- operatoren ) er en lineær transformation af et vektorrum, der beskriver dets refleksion om et hyperplan , der passerer gennem oprindelsen . $H_{u}$ $V$

Brugt i den amerikanske matematiker Elston Scott Householders arbejde i 1958.

Udbredt i lineær algebra til QR-nedbrydning af en matrix .

Definitioner

Lad hyperplanet være beskrevet af en enhedsvektor , som er ortogonal på den, og være skalarproduktet i , så $u$ $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ $V$

H_{u}(x)=x-2\langle x,u\rangle u

kaldes Householder-operatøren.

Husholdermatricen har formen:

H=I-2uu^{\dolk }.

I russisksproget litteratur kaldes det også refleksionsmatricen.

Egenskaber

Husholdermatrixen er hermitisk : $H=H^{\dolk }.$
Husholdermatricen er enhedsmæssig : $H^{\dolk }H=I.$
Householder-matrixen er en involution af : . $H^{2}=I$
Husholdertransformationen har en egenværdi lig med , hvilket svarer til egenvektoren , alle andre egenværdier er lige . $-en$ $u$ $en$
Determinanten for husholdermatricen er . $-en$

Litteratur

Alston S. Householder, Unitary Triangularization of a Nonsymmetric Matrix, Journal ACM , 5 (4), 1958, 339-342. DOI:10.1145/320941.320947

Links