Box-Muller transformation

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 11. januar 2018; checks kræver 3 redigeringer .

Box-Muller-transformationen er en metode til modellering af standard normalfordelte stokastiske variabler . Har to muligheder. Metoden er nøjagtig i modsætning til for eksempel metoder baseret på den centrale grænsesætning .

Metoden blev udgivet i 1958 af George Box og Mervyn Muller.

Første mulighed

Lad og være uafhængige stokastiske variable ensartet fordelt over intervallet . Beregn og formler $r$ $\varphi\$ $(0,\;1]$ $z_{0}$ $z_{1}$

z_{0}=\cos(2\pi \varphi ){\sqrt {-2\ln r)),

z_{1}=\sin(2\pi \varphi ){\sqrt {-2\ln r}}.

Så og vil være uafhængig og normalfordelt med matematisk forventning 0 og varians 1. Når det implementeres på en computer, er det normalt hurtigere ikke at beregne begge trigonometriske funktioner - og - men at beregne den ene af dem gennem den anden [bevis?]. Det er endnu bedre at bruge den anden version af Box-Muller-transformationen i stedet for. $z_{0}$ $z_{1}$ $\cos(\cdot )$ $\sin(\cdot)$

Anden mulighed

Lad og være uafhængige stokastiske variable ensartet fordelt på intervallet . Lad os beregne . Hvis det viser sig, at eller , så skal værdierne af og "smides væk" og regenereres. Så snart betingelsen er opfyldt , i henhold til formlerne $x$ $y$ $[-1,\;1]$ ${s=x^{2}+y^{2}}$ ${s>1}$ ${s=0}$ $x$ $y$ ${0<s\leqslant 1}$

z_{0}=x\cdot {\sqrt {-2\ln s \over s))

z_{1}=y\cdot {\sqrt {-2\ln s \over s))

man bør beregne og , som, som i det første tilfælde, vil være uafhængige mængder, der opfylder standard normalfordelingen. $z_{0}$ $z_{1}$

Brugskoefficienten for grundlæggende stokastiske variable for den første variant er åbenbart lig med én. For den anden mulighed er dette forholdet mellem arealet af en cirkel med enhedsradius og arealet af et kvadrat med en side på to, det vil sige . Men i praksis er den anden variant normalt hurtigere på grund af det faktum, at den kun bruger én transcendental funktion , . Denne fordel for de fleste implementeringer opvejer behovet for at generere mere ensartet fordelte tilfældige variabler. $\pi /4\ca. 0{,}785$ $\ln(\cdot )$

Overgang til den generelle normalfordeling

Efter at have opnået en standard normal stokastisk variabel , kan man nemt skifte til en normalfordelt stokastisk variabel med matematisk forventning og standardafvigelse ved hjælp af formlen $z$ $\xi \sim N(\mu ,\sigma ^{2})$ $\mu$ $\sigma$

\xi =\mu +\sigma z.

Dette er ikke længere en del af Box-Muller-transformationen, men gør det muligt at fuldføre genereringen af en normal tilfældig variabel.

Se også

Ziggurat algoritme

Box-Muller transformation

Første mulighed

Anden mulighed

Overgang til den generelle normalfordeling

Se også

Links