L'Hopitals regel

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 29. september 2021; checks kræver 13 redigeringer .

L'Hopitals sætning (også Bernoulli - L'Hopital reglen [1] ) er en metode til at finde grænserne for funktioner , afsløre usikkerheder i formen og . Sætningen, der begrunder metoden, siger, at grænsen for forholdet mellem funktioner under visse betingelser er lig med grænsen for forholdet mellem deres afledte . $0/0$ $\infty /\infty$

Præcis formulering

L'Hopitals sætning:

Hvis: er funktioner med reel værdi differentiable i et punkteret område af punktet , hvor er et reelt tal eller et af symbolerne , og $f(x),\,g(x)$ $U$ $-en$ $-en$ $+\infty ,-\infty ,\infty$

$\lim _{{x\to a}}{f(x)}=\lim _{{x\to a}}{g(x)}=0$ eller ; $\infty$
$g'(x)\neq 0$ i ; $U$
eksisterer ; $\lim \limits _{{x\to a}}{{\frac {f'(x)}{g'(x)))}$

så eksisterer . $\lim \limits _{{x\to a}}{{\frac {f(x)}{g(x)}}}=\lim \limits _{{x\to a}}{{\frac { f'(x)}{g'(x)}}}$

Grænser kan også være ensidige.

Historie

En måde at afsløre denne form for usikkerhed på blev offentliggjort i lærebogen "Analyse des Infiniment Petits" fra 1696 af Guillaume Lopital . Metoden blev meddelt Lopital i et brev af dens opdager Johann Bernoulli . [2]

Eksempler

$\lim _{{x\to 0}}{\frac {x^{2}+5x}{3x}}=\lim _{{x\to 0}}{\frac {2x+5}{3} }={\frac {5}{3}}$

$\lim _{{x\to \infty }}{\frac {x^{3}+4x^{2}+7x+9}{x^{3}+3x^{2}}}=\lim _ {{x\to \infty }}{\frac {3x^{2}+8x+7}{3x^{2}+6x}}=\lim _{{x\to \infty }}{\frac { 6x+8}{6x+6}}={\frac {6}{6}}=1$
Her kan du anvende L'Hopital-reglen 3 gange, men du kan gøre andet. Det er nødvendigt at dividere både tælleren og nævneren med i størst muligt omfang (i vores tilfælde, ). Dette eksempel resulterer i: $x$ $x^{3}$ $\lim _{{x\to \infty }}{\frac {1+4/x+7/x^{2}+9/x^{3}}{1+3/x}}={\frac {1}{1}}=1$
$\lim _{{x\to +\infty }}{{\frac {e^{{x}}}{x^{{a}}}}}=\lim _{{x\to +\infty } }{{\frac {e^{{x}}}{a\cdot x^{{a-1}}}}}=\ldots =\lim _{{x\to +\infty }}{{\ frac {e^{{x}}}{a!}}}=+\infty$ - anvendelse af tidsreglen; $-en$
$\lim _{{x\to +\infty }}{{\frac {x^{{a}}}{\ln {x}}}}=\lim _{{x\to +\infty }}{ {\frac {ax^{{a-1}}}{{\frac {1}{x}}}}}=a\cdot \lim _{{x\to +\infty }}{x^{{ a}}}=+\infty$ kl ; $a>0$
$\lim _{x\to +\infty }{\frac {\int \limits _{x}^{+\infty }e^{-t^{2}}dt}{x^{-1 }e^{-x^{2}}}}=\lim _{x\to +\infty }{\frac {-e^{-x^{2}}}{-x^{-2}e ^{-x^{2}}(1+2x^{2})}}=\lim _{x\to +\infty }{\frac {x^{2}}{1+2x^{2} ))={\frac {1}{2))$ .

Konsekvens

Et simpelt, men nyttigt resultat af L'Hospitals regel, kriteriet for differentiabilitet af funktioner, er som følger:

Lad funktionen være differentierbar i et punkteret naboskab af punktet , og på dette tidspunkt selv er den kontinuerlig og har en afledt grænse . Så er funktionen differentierbar både ved punktet , og (det vil sige, at den afledede er kontinuert i punktet ). $f(x)$ $-en$ $\lim _{x\to a}f'(x)=A$ $f(x)$ $-en$ $f'(a)=A$ $f'(x)$ $-en$

For at bevise det er det tilstrækkeligt at anvende L'Hopitals regel på forholdet . ${\frac {f(x)-f(a)}{xa))$

Se også

En analog til L'Hopitals regel for sekvenser af reelle tal er Stolz' sætning .

Noter

↑ Arkiveret kopi . Dato for adgang: 14. december 2010. Arkiveret fra originalen 6. februar 2009. (ubestemt)
↑ Paul J. Nahin, An Imaginary Tale: The Story of , s.216 ${\sqrt {-1}}$

Ordbøger og encyklopædier	Fantastisk catalansk