Fuldt faktorielt eksperiment

Fuldt faktorielt eksperiment (FFE) - et sæt af flere målinger , der opfylder følgende betingelser:

Antallet af målinger er 2 n , hvor n er antallet af faktorer;
Hver faktor tager kun to værdier - øvre og nedre;
Under målingen kombineres de øvre og nedre værdier af faktorerne i alle mulige kombinationer.

Fordelene ved et fuldt faktoreksperiment er

let løsning af ligningssystemet til estimering af parametre ;
statistisk redundans i antallet af målinger, hvilket reducerer effekten af individuelle målefejl på parameterestimering.

Indledende

Estimering af systemparametre

I praksis er det ofte nødvendigt at evaluere parametrene for et bestemt system, det vil sige at bygge dets matematiske model og finde de numeriske værdier af parametrene i denne model. De indledende data til opbygning af modellen er resultaterne af eksperimentet , som er en samling af flere målinger udført i henhold til en bestemt plan. I det enkleste tilfælde er planen en beskrivelse af måleforholdene, det vil sige værdierne af inputparametrene (faktorer) under målingen.

Som et eksempel på systemer, hvis estimering af parametre er relevante fra et praktisk synspunkt, kan forskellige teknologiske processer tjene. For at illustrere, overvej processen med fotolitografi.

Fotolitografi er påføringen af et mønster på en overflade ved hjælp af en fotografisk metode. Den består af følgende trin: overfladeforberedelse, påføring af en lysfølsom emulsion ( fotoresist ), tørring, installation af en stencil eller plade med et negativt mønster, eksponering (belysning) med ultraviolette stråler, ætsning (udvikling). Da fotolitografiens teknologiske finesser ikke er vigtige i denne sammenhæng, vil vi betragte tykkelsen af den lysfølsomme emulsion d (i mikron) og eksponeringstiden t (i sekunder) som de vigtigste faktorer, der påvirker litografiprocessen. Processens outputparameter (respons) vil være dens opløsning R , det vil sige det maksimale antal skelnelige linjer, der kan tegnes på en millimeter af overfladen. Denne værdi bestemmes ved at påføre et specielt testbillede på overfladen.

Så den teknologiske proces med fotolitografi er beskrevet af en eller anden funktion af formen

\ R=f(d,t).

Opbygning af en model af den teknologiske proces giver dig mulighed for at identificere adfærden af systemets respons afhængigt af ændringen i faktorer og derved finde måder at optimere teknologien på. I dette særlige tilfælde skal du vælge den emulsionstykkelse og eksponeringstid, der giver den bedste billedkvalitet.

I det generelle tilfælde er systemets respons beskrevet af en eller anden funktion af variable $n$

\ y=f(x_{1},x_{2},...,x_{n}).

Den matematiske model af systemet er opnået som et resultat af tilnærmelsen af denne funktion af en anden funktion, for eksempel en lineær.

{\displaystyle \ y=a_{0}+a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+...+a_{n}x_{n))

hvor er de ønskede modelparametre. ${\displaystyle a_{0},a_{1},a_{2}...a_{n))$

Figuren viser grafisk processen med at bygge en lineær model af fotolitografiprocessen, hvor er tykkelsen af emulsionsfilmen, er eksponeringstiden, er opløsningen opnået under givne forhold. Funktionen er ikke-lineær, men i tilstrækkelig nærhed af punktet kan den erstattes af et tangentplan . I området vist på figuren er modellens maksimale fejl . $x_{1}$ $x_{2}$ $y$ $y=f(x_{1},x_{2})$ $A_0$ ${\displaystyle y=a_{0}+a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2))$ $\Delta y$

Ved at kende modellens koefficienter er det muligt med en vis nøjagtighed at forudsige værdien af funktionen (og dermed systemets opførsel) i nærheden af punktet . Formålet med forsøget er at bestemme værdierne af koefficienterne . ${\displaystyle a_{0},a_{1},a_{2))$ $A_0$ ${\displaystyle a_{0},a_{1},a_{2))$

Eksperimentmatrix

Antag, at de indledende parametre for den teknologiske proces er: filmtykkelse 55 mikron, eksponeringstid - 30 s, dvs.

\ x_{1C}=55;\quad x_{2C}=30.

Lad os tage de øvre og nedre værdier af begge faktorer, så de er placeret symmetrisk i forhold til den aktuelle værdi, for eksempel

\ x_{1B}=60;\quad x_{2B}=35;

\ x_{1H}=50;\quad x_{2H}=25;

Lad os lave en tabel, hvor værdierne af begge faktorer er i alle mulige kombinationer og tage målinger på disse punkter (svarværdier er givet betinget):

{\begin{array}{|c|c||c|}\hline x_{1}&x_{2}&y\\\hline 50&25&140\\50&35&210\\60&25&170\\60&35&220\\\hline \end {array}}

Forudsat at den lineære model af processen har formen

{\displaystyle \ y=a_{0}+a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2))

På baggrund af de opnåede resultater kan et system af fire ligninger med to variable kompileres. Dette system er vist nedenfor, såvel som dets forkortede notation i form af en matrix. Lad os kalde en matrix af denne type for eksperimentmatricen .

{\begin{cases}a_{0}+50a_{1}+25a_{2}=140\\a_{0}+50a_{1}+35a_{2}=210\\a_{0}+ 60a_{1}+25a_{2}=170\\a_{0}+60a_{1}+35a_{2}=220\end{cases));\left({\begin{array}{ccc|c} x_{0}&x_{1}&x_{2}&y\\\hline 1&50&25&140\\1&50&35&210\\1&60&25&170\\1&60&35&220\end{array}}\right).

I eksperimentets matrix er den anden og tredje kolonne værdierne af faktorerne, den fjerde kolonne er værdierne af systemsvaret, og den første kolonne indeholder enheder, der svarer til enhedskoefficienter for det frie led af model . Vi vil betragte denne kolonne som en virtuel faktor , som altid tager enkelte værdier. $a_{0}$ $x_{0}$

Løsning af systemet

For at lette løsningen af systemet normaliserer vi faktorerne. Vi tildeler den normaliserede værdi +1 til de øvre værdier af faktorerne, den normaliserede værdi -1 til de nedre værdier, den normaliserede værdi 0 til gennemsnitsværdien. Generelt er normaliseringen af faktoren udtrykt ved formlen

{\tilde {x}}_{i}={\frac {2(x_{i}-x_{iC})}{x_{iB}-x_{iH}}}={\frac {2x_ {i}-x_{iB}-x_{iH}}{x_{iB}-x_{iH}}}.

Under hensyntagen til normaliseringen af faktorer vil ligningssystemet og eksperimentets matrix have følgende form:

{\begin{cases}{\tilde {a}}_{0}-{\tilde {a}}_{1}-{\tilde {a}}_{2}=140\\{\ tilde {a}}_{0}-{\tilde {a}}_{1}+{\tilde {a}}_{2}=210\\{\tilde {a}}_{0}+{ \tilde {a}}_{1}-{\tilde {a}}_{2}=170\\{\tilde {a}}_{0}+{\tilde {a}}_{1}+ {\tilde {a))_{2}=220\end{cases));\left({\begin{array}{ccc|c}{\tilde {x))_{0}&{\tilde { x}}_{1}&{\tilde {x}}_{2}&y\\\hline +1&-1&-1&140\\+1&-1&+1&210\\+1&+1&-1&170\\+1& +1&+1&220\end{array}}\right).

Da summen af vilkårene i den anden og tredje kolonne i matrixen er nul, kan modellens skæringspunkt findes ved at tilføje alle fire ligninger:

4\ {\tilde {a}}_{0}=140+210+170+220=740;

{\tilde {a}}_{0}=185.

For at finde en anden koefficient for modellen skal du ændre fortegnene i ligningerne, så der kun er en i den tilsvarende kolonne, og derefter tilføje alle fire ligninger:

4\ {\tilde {a}}_{1}=-140-210+170+220=40;

{\tilde {a}}_{1}=10.

4\ {\tilde {a}}_{2}=-140+210-170+220=120;

{\tilde {a}}_{2}=30.

Den lineære model af den teknologiske proces i nærheden af punktet (55, 30) har således formen

\ y=185+10{\tilde {x}}_{1}+30{\tilde {x}}_{2}.

Generelt vil systemets løsning se ud

{\tilde {a}}_{k}={\frac {1}{2^{n}}}\sum _{i=1}^{2^{n}}y_{i}{ \tilde {x}}_{ki}

Vend tilbage til ikke-normaliserede faktorer

Overgangen fra normaliserede til ikke-normaliserede faktorer udføres ved den inverse transformation

{x}_{i}={\tilde {x}}_{i}{\frac {x_{iB}-x_{iH}}{2}}+{x}_{iC}={ \tilde {x}}_{i}{\frac {x_{iB}-x_{iH}}{2}}+{\frac {x_{iB}+x_{iH}}{2}}.

For at finde modelparametrene for ikke-normaliserede koordinater erstatter vi udtrykkene for normaliserede koordinater i modelligningen:

\ y={\tilde {a}}_{0}+{\tilde {a}}_{1}{\tilde {x}}_{1}+{\tilde {a}}_{ 2}{\tilde {x}}_{2}=

\ ={\tilde {a}}_{0}+{\tilde {a}}_{1}{\frac {2(x_{1}-x_{1C})}{x_{1B} -x_{1H))}+{\tilde {a}}_{2}{\frac {2(x_{2}-x_{2C})}{x_{2B}-x_{2H}}}=

\={\tilde {a}}_{0}-{\tilde {a}}_{1}{\frac {2x_{1C}}{x_{1B}-x_{1H}}}- {\tilde {a}}_{2}{\frac {2x_{2C}}{x_{2B}-x_{2H}}}+{\frac {2{\tilde {a}}_{1}} {x_{1B}-x_{1H}}}x_{1}+{\frac {2{\tilde {a}}_{2}}{x_{2B}-x_{2H}}}x_{2} =

\ ={\tilde {a}}_{0}-{\tilde {a}}_{1}{\frac {x_{1B}+x_{1H}}{x_{1B}-x_{ 1H}}}-{\tilde {a}}_{2}{\frac {x_{2B}+x_{2H}}{x_{2B}-x_{2H}}}+{\frac {2{\ tilde {a}}_{1}}{x_{1B}-x_{1H}}}x_{1}+{\frac {2{\tilde {a}}_{2}}{x_{2B}- x_{2H}}}x_{2}.

Sammenligning af det sidste udtryk med udtrykket for den lineære model i ikke-normaliserede koordinater

{\displaystyle \ y=a_{0}+a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2))

vi får udtryk for modelparametrene:

\ a_{0}={\tilde {a}}_{0}-{\tilde {a}}_{1}{\frac {x_{1B}+x_{1H}}{x_{1B }-x_{1H))}-{\tilde {a}}_{2}{\frac {x_{2B}+x_{2H}}{x_{2B}-x_{2H}}};

\ a_{1}={\frac {2{\tilde {a}}_{1}}{x_{1B}-x_{1H}}};

\ a_{2}={\frac {2{\tilde {a}}_{2}}{x_{2B}-x_{2H}}};

Generelt

a_{0}={\tilde {a}}_{0}-\sum _{i=1}^{n}{\tilde {a}}_{i}{\frac {x_{iB }+x_{iH}}{x_{iB}-x_{iH}}};

$a_{k}={\frac {2{\tilde {a}}_{k}}{x_{kB}-x_{kH}}}.$

Til ovenstående eksempel

\ a_{0}=185-10\cdot {\frac {60+50}{60-50}}-30\cdot {\frac {35+25}{35-25}}=-105;

\ a_{1}={\frac {2\cdot 10}{60-50}}=2;

\ a_{2}={\frac {2\cdot 30}{35-25}}=6.

Til sidst får vi modellen i naturlige koordinater:

{\displaystyle \ y=-105+2x_{1}+6x_{2))

Fuldt faktoreksperiment

PFE-matrix i generel form

Generelt har matrixen for et fuldt faktorielt eksperiment med n faktorer formen

\left({\begin{array}{cccc | c}{\tilde {x}}_{0}&{\tilde {x}}_{1}&...&{\tilde {x }}_{n}&y\\\hline +1&-1&...&-1&y_{1}\\+1&-1&...&+1&y_{2}\\...&...&. ..&...&...\\+1&+1&...&+1&y_{2^{n}}\end{array}}\right).

Egenskaber for PFE-matricen

PFE-matricen har følgende egenskaber:

Antallet af rækker i matrixen er 2 n ;
Matricens nulsøjle består af enere:

{\tilde {x}}_{0i}=1;

Kolonne 1… n indeholder alle mulige 2 n kombinationer af værdier −1 og +1;
Den sidste kolonne indeholder måleresultaterne opnået med værdierne af faktorerne registreret i de tilsvarende linjer i kolonne 1… n .
Summen af elementerne i nulkolonnen er altid lig med 2 n :

\sum _{i=1}^{2^{n}}{\tilde {x}}_{0i}=2^{n};

Summen af elementerne i enhver kolonne, undtagen nul og den sidste, er lig med nul:

\sum _{i=1}^{2^{n}}{\tilde {x}}_{ki}=0\qquad (k=1...n);

De sidste to udtryk kan kombineres til en enkelt relation:

\sum _{i=1}^{2^{n}}{\tilde {x}}_{ki}=2^{n}\delta _{k0}\qquad (k=0.. .n),

hvor er identitetsmatrixen, ; $\delta _{{ij}}$ $(i,j=0...n)$

Summen af kvadraterne af elementerne i enhver (undtagen den sidste) kolonne er altid lig med 2 n :

\sum _{i=1}^{2^{n}}{\tilde {x}}_{ki}^{2}=2^{n}\qquad (k=0...n );

Summen af produkterne af de tilsvarende elementer i to kolonner (undtagen den sidste) er lig med nul:

\sum _{i=1}^{2^{n}}{\tilde {x}}_{ki}{\tilde {x}}_{mi}=0\qquad (k,m= 0...n;k\neq m);

De sidste to udtryk kan skrives som ortogonaliteten af matrixkolonnerne:

\sum _{i=1}^{2^{n}}{\tilde {x}}_{ki}{\tilde {x}}_{mi}=2^{n}\delta _ {km}\qquad(k,m=0...n);

Beregning af koefficienterne for en lineær model

Lineære modelkoefficienter i normaliserede koordinater beregnes ved hjælp af formlerne:

{\tilde {a}}_{k}={\frac {1}{2^{n}}}\sum _{i=1}^{2^{n}}y_{i}{ \tilde {x}}_{ki}\qquad (k=0...n);

Koefficienterne for den lineære model i naturlige (ikke-normaliserede) koordinater beregnes ved hjælp af formlerne:

a_{0}={\tilde {a}}_{0}-\sum _{i=1}^{n}{\tilde {a}}_{i}{\frac {x_{iB }+x_{iH}}{x_{iB}-x_{iH}}};

a_{k}={\frac {2{\tilde {a}}_{k}}{x_{kB}-x_{kH}}}\qquad (k=1...n).

Konvertering af naturlige faktorer til normaliserede og omvendt

{\tilde {x}}_{i}={\frac {2x_{i}-x_{iB}-x_{iH}}{x_{iB}-x_{iH}}};

{x}_{i}={\tilde {x}}_{i}{\frac {x_{iB}-x_{iH}}{2}}+{\frac {x_{iB}+ x_{iH}}{2}}.

Se også

Eksperiment planlægning

Kilder

Opbygning af modeller og grænsetest af elektroniske midler: Metode. instruktioner / Comp. A. N. Zhirabok, V. N. Lyakhov. - Vladivostok: Publishing House of the Far Eastern State Technical University, 2006. - 32 s.

Adler Yu. P., Markova EV, Granovsky Yu. V. Planlægning af eksperiment i jagten på optimale forhold. - M .: Nauka, 1976. - 279 s., ill.

Montgomery D.K. Eksperimentelt design og dataanalyse: Pr. fra engelsk. - L .: Skibsbyggeri, 1980. - 384 s., ill.