Solid torus

En solid torus ( solid torus ) er en tredimensionel figur afgrænset af en torus , såvel som et topologisk rum homøomorf til denne figur, det vil sige et direkte produkt af en todimensionel skive og en cirkel. Uformelt er en solid torus en donut, mens en torus kun er dens overflade (et hult kammer i et hjul). ${\displaystyle D^{2}\ gange S^{1))$

Egenskaber

En solid torus kan opnås som en rotationsfigur af en cirkel med radius omkring en akse, der ligger i denne cirkels plan, placeret i en afstand fra dens centrum. $r$ $R$
Volumenet af en solid torus som en konsekvens af Guldins anden sætning : , hvor er radius af den genererende cirkel, og er afstanden fra midten af den genererende cirkel til rotationsaksen (se figur). $V=2\pi ^{2}Rr^{2}$ $r$ $R$
En solid torus er en kompakt 3 -manifold med grænse . Denne manifold er forbundet og orienterbar.
En solid torus er homotopi svarende til en cirkel . Det følger heraf, at den solide torus og cirklen har de samme grundlæggende grupper og homologigrupper : $S^{1}$

\pi _{1}(S^{1}\ gange D^{2})\cong \pi _{1}(S^{1})\cong \mathbb {Z}

H_{k}(S^{1}\ gange D^{2})\cong H_{k}(S^{1})\cong {\begin{cases}\mathbb {Z} &k=0 ,1\\0&k\geq 2\end{cases}}

Litteratur

Fomenko A. T. Visuel geometri og topologi - M., 1992.
Fomenko A. T., Fuchs D. B. Course of homotopy topology.- M.: Nauka, 1989.