Polynumre

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 24. november 2017; checks kræver 2 redigeringer .

Algebraen af polynumre er implementeret af elementer i formen: $P_{n}$ $A\in P_{n}$

A=A_{1}e_{1}+\dots +A_{n}e_{n},

hvor a er et sæt generatorer, der overholder følgende multiplikationsregler (multiplikation er kommutativ og associativ): $A_{i}\in \mathbb {R} ,$ $e_{i}$ $P_{n}$

e_{i}e_{j}=0\quad (i\neq j),\quad e_{i}^{2}=e_{i},

og i sig selv er følgende objekt ( direkte sum ):

P_{n}~{\overset {\scriptscriptstyle \mathrm {def} }{=}}~\underbrace {\mathbb {R} \oplus \mathbb {R} \oplus \cdots \oplus \mathbb {R } } _{n}=\bigoplus ^{n}\mathbb {R} =\mathbb {R} ^{n}.

Polynumre (n-tal)

Det er let at kontrollere, at multiplikation i algebraen af polynumre i det valgte grundlag reduceres til multiplikationen af de tilsvarende komponenter, og division er kun defineret for polynumre, der har alt (af denne grund danner polynumre ikke et talfelt ). Den algebraiske enhed har følgende repræsentation i det valgte grundlag: $A_{i}\neq 0$

{\displaystyle I=e_{1}+\dots +e_{n))

Der er n-1 komplekse konjugationsoperationer på algebraen . En af dem kan defineres ved følgende regel: $P_{n}$

A^{(1)}=A^{\ast }=A_{n}e_{1}+A_{1}e_{2}+\dots +A_{n-1}e_{n},

hvilket reducerer til en cyklisk permutation af komponenterne i polynumret . k -te kompleks konjugation kan defineres ved formlen : $EN$

A^{(k)}=A^{k(1)}=((A^{\ast })^{\ast })^{\dots })^{\ast}\quad

( - gange)

k

Det er indlysende $A^{(n)}=A.$

Overvej et polytal af formen

N(A)=AA^{(1)}A^{(2)}\dots A^{(n-1)},

(en)

hvor . $A\in P_{n}$

Det er nemt at kontrollere, at det er ægte i den forstand, at $N(A)$

N(A)=r^{n}I,

hvor .

r^{n}\in R

Tallet kaldes (kvasi)normen for polytallet . Kvasi-normen udtrykkes i form af polynumrets koordinater med formlen: $r$ $EN$ $r$ $EN$

r^{n}=A_{1}A_{2}\dots A_{n}=G(A,A,\dots ,A)

, (2)

hvor er n-formen $G$

G={\hat {S}}\left(dx^{1}\otimes \cdots \otimes dx^{n}\right)

, (3)

${\hat {S))$ er symmetriseringsoperatøren. Denne form er en (Finsler) metrik i Berwald-Moor-rum . Formlerne (1)-(3) tydeliggør forbindelsen mellem polynumeralgebraen og Berwald-Moor-rummene: den metriske n-form (3) induceres af den reelle algebraiske form , som er en multidimensionel analog af den euklidiske kvadratiske form på komplekst plan $N(A)$ ${\displaystyle |z|^{2}=zz^{\ast ))$ .

I analogi med den komplekse bilineære form:

(\zeta ,\xi )=\mathrm {Re} (\zeta \xi )

hvor , kan vi betragte den n -lineære form $\zeta ,\xi \in \mathbb {C}$

(A,B,\dots ,Z)={\text{Re}}(AB\dots Z)=\sum \limits _{\sigma (A,B,\dots,Z)}AB^{ (1)}C^{(2)}\dots Z^{(n-1)}=n!G(A,B,{\dots },Z).\quad

(fire)

Her udføres summeringen over sættet af alle permutationer af elementer . Det sidste lighedstegn i (4) (det er etableret ved direkte verifikation) afslører også den genetiske forbindelse mellem algebraerne af polynumre og geometrierne af de tilsvarende Berwald-Moor-rum. $\sigma (A,B,{\dots },Z)$ ${\displaystyle A,B,{\dots },Z\in P_{n))$

Polytalalgebraen beskrevet ovenfor kan vises som den direkte sum af forekomster af den reelle talalgebra . Blandt alle associativ-kommutative algebraer er den i en vis forstand maksimalt symmetrisk (den indeholder hyperbolske imaginære enheder). En mere generel konstruktion vil være en polytalalgebra , som er en direkte sum af forekomster af algebraen af reelle tal og forekomster af algebraen af komplekse tal [1] . $P_{n}$ $n$ $\mathbb {R}$ $n$ $P_{n,m},$ $n$ $\mathbb {R}$ $m$ $\mathbb {C}$

Noter

↑ G. I. Garasko, Fundamentals of Finsler geometri for physicists, M.: Tetru, 2009.

Litteratur

I. L. Kantor, A. S. Solodovnikov. hyperkomplekse tal. M.: Nauka, 1973, s. 138-140
M. A. Lavrentiev, B. O. Shabat. Problemer med hydrodynamik og deres matematiske modeller. Moskva: Nauka, 1977.
G. I. Garasko. Fundamentals af Finsler geometri for fysikere. M.: Tetra, 2009.
S. S. Kokarev . Forelæsninger om Finsler-geometri og hyperkomplekse tal. På lør. videnskabelige værker af RNEC "Logos", vol. 5, Yaroslavl (2010), s. 19-121